Question

如圖，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=2，由頂點B沿棱柱側面經過棱AA₁到頂點C₁的最短路線與AA₁的交點記為M，求:

（1）三棱柱的側面展開圖的對角線長；

（2）該最短路線的長及的值；

（3）平面C₁MB與平面ABC所成二面角（銳角）的大小.

Answer 1

解:（1）正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側面展開圖是長為6，寬為2的矩形,其對角線長為.

（2）如圖，將側面AA₁B₁B繞棱AA₁旋轉120°使其與側面AA₁C₁C在同一平面上，點B運動到點D的位置，連結DC₁交AA₁于點M，則DC₁就是由頂點B沿棱柱側面經過棱AA₁到頂點C₁的最短路線，其長為.

∵△DMA≌△C₁MA₁，∴AM=A₁M.

    故=1.

（3）連結DB、C₁B，則DB就是平面C₁MB與平面ABC的交線，在△DCB中，

∵∠DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90°,

∴CB⊥DB.

    又C₁C⊥平面CBD，

    由三垂線定理得C₁B⊥DB.

∴∠C₁BC就是平面C₁MB與平面ABC所成二面角的平面角（銳角）.

∵側面C₁B₁BC是正方形，

∴∠C₁BC=45°.

    故平面C₁MB與平面ABC所成的二面角（銳角）為45°.