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設f(x)=
x
1+x2
，數列{an}滿足：a1=f（1），an+1=f（an）（n∈N*），則a2010=（　　）
A、
1
2012
B、
1
2011
C、
1
2010
D、
1
2009
分析：先根據題意：f（x）=
x
1+x2
，數列{an}滿足：a1=f（1），且an+1=f（an），其中n∈N*，計算出前幾項：a1，a2…再根據規律依此類推，a2010的值即可．
解答：解：∵f（x）=
x
1+x2
，數列{an}滿足：a1=f（1），且an+1=f（an），其中n∈N*，
則a1=f（1）=
1
1+12
=
1
2
，
a2=f（a1）=
1
2
1+(
1
2
)2
=
1
3
，
…
依此類推，a2010=
1
2011
，
故選B．
點評：本小題主要考查數列與函數的綜合、合情推理等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）是定義在區間（1，+∞）上的函數，其導函數為f′（x）．如果存在實數a和函數h（x），其中h（x）對任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2-ax+1），則稱函數f（x）具有性質P（a），設函數f（x）=lnx+
b+2x+1
(x＞1)，其中b為實數．
（1）①求證：函數f（x）具有性質P（b）；
②求函數f（x）的單調區間．
（2）已知函數g（x）具有性質P（2），給定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，設m為實數，α=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，α＞1，β＞1，若|g（α）-g（β）|＜|g（x1）-g（x2）|，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•天河區三模）設f（x）是定義在區間（1，+∞）上的函數，其導函數為f'（x）．如果存在實數a和函數h（x），其中h（x）對任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f'（x）=h（x）（x2-ax+1），則稱函數f（x）具有性質P（a）．
（1）設函數f(x)=Inx+
b+2x+1
(x＞1)，其中b為實數．
（i）求證：函數f（x）具有性質P（b）；
（ii）求函數f（x）的單調區間．
（2）已知函數g（x）具有性質P（2），給定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，設m為實數，a=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，且a＞1，β＞1，若|g（a）-g（β）|＜|g（x1）-g（x2）|，求m取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A={x|x2-mx-2x+2m≤0，m≥0}，f（x）=ax2+3x-b（a，b為正整數），設f（x）=x的兩根為x1，x2，且|x1-x2|=3
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=
f(x)1+x
，若g（x）在A中恒有g（x）＞m，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•韶關一模）設f（x）在區間I上有定義，若對?x1，x2∈I，都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
，則稱f（x）是區間I的向上凸函數；若對?x1，x2∈I，都有f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
，則稱f（x）是區間I的向下凸函數，有下列四個判斷：
①若f（x）是區間I的向上凸函數，則-f（x）在區間I的向下凸函數；
②若f（x）和g（x）都是區間I的向上凸函數，則f（x）+g（x）是區間I的向上凸函數；
③若f（x）在區間I的向下凸函數，且f（x）≠0，則
1
f(x)
是區間I的向上凸函數；
④若f（x）是區間I的向上凸函數，?x1，x2，x3，x4∈I，則有f（
x1+x2+x3+x4
4
）≥
f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)
4

其中正確的結論個數是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•嘉定區二模）設等比數列{an}的首項a1=1，前n項和為Sn，公比q=
λ
1+λ
（λ≠-1且λ≠0）．
（1）證明：Sn=（1+λ）-λan；
（2）設f(x)=
x
1+x
，數列{bn}滿足b1=f（1），bn=f（bn-1）（n∈N*且n≥2），求數列{bn}的通項公式及
lim
n→∞
1
n2
(
1
b1
+
1
b2
+…
1
bn
)的值．

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