Question

(2007蘇錫常鎮四市模擬)如圖所示，已知點D在定線段MN上，且|MD|=3，|DN|=1，一個動圓C過點D且與MN相切，分別過M，N作圓C的另兩條切線交于點P．

(1)建立適當的直角坐標系，求點P的軌跡方程；

(2)過點M作直線l與所求軌跡交于兩個不同的點A，B，若，且，求直線l與直線MN夾角θ的取值范圍．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)以直線MN為x軸，MN的中點為坐標原點O，建立直角坐標系xOy． ∵PM－PN=(PE＋EM)－(PF＋FN)=ND－MD=2， 或PM－PN=(PE－EM)－(PF－FN)=MD－ND=－2， ∵點P的軌跡是以M，N為焦點，實軸長為2的雙曲線(不包括頂點)， 其軌跡方程為(y≠0)． (2)∵，， ∴． 設，， 則，． 設AB∶my=x＋2，代入得，， 即． ∴ (i)當時，． ∴ 得，， ∴， 即． ∴解得，，故． (ii)當時，． 得，， 即． ∵，， ∴， 即， ∴ 即，故． 由(i)(ii)得或． 則夾角， ∵tanθ不存在時，直線l符合條件， 故時，符合題意， ∴．