Question

請您設(shè)計一個帳篷．它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如圖所示）．試問當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心O₁的距離為多少時，帳篷的體積最大？

Answer 1

分析：設(shè)出頂點O到底面中心o₁的距離，再求底面邊長和底面面積，求出體積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出高為何時體積取得最大值．

解答：解：設(shè)OO₁為xm，
則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為（單位：m）

32-(x-1)2

=

8+2x-x2

于是底面正六邊形的面積為（單位：m²）

32-(x-1)2

=6•

3

4

•(

8+2x-x2

)2=

3 3

2

(8+2x-x2)
帳篷的體積為（單位：m³）V(x)=

3 3

2

(8+2x-x2)[

1

3

(x-1)+1]=

3

2

(16+12x-x3)
求導(dǎo)數(shù)，得V′(x)=

3

2

(12-3x2)
令V'（x）=0解得x=-2（不合題意，舍去），x=2．
當(dāng)1＜x＜2時，V'（x）＞0，V（x）為增函數(shù)；
當(dāng)2＜x＜4時，V'（x）＜0，V（x）為減函數(shù)．
所以當(dāng)x=2時，V（x）最大．
答當(dāng)OO₁為2m時，帳篷的體積最大．

點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力．