Question

如圖，F是橢圓的右焦點，以F為圓心的圓過原點O和橢圓的右頂點，設P是橢圓的動點，P到兩焦點距離之和等于4
（Ⅰ）求橢圓和圓的標準方程；
（Ⅱ）設直線l的方程為x=4，PM⊥l，垂足為M，是否存在點P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得2a=4，a=2c，由此能求出橢圓的標準方程和圓的標準方程．
（Ⅱ）設P（x，y），則由題設知

x2

4

+

y2

3

=1．由|PF|=

1

2

|PM|，|PF|≠|PM|，知若|PF|=|FM|，則|PF|+|FM|=|PM|這與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾，|PF|≠|PM|．若|PM|=|FM|，則（x-4）²=12-

3

4

x²，由此解得存在兩點P（

4

7

，

3

7

15

），P（

4

7

，-

3

7

15

）使得△PFM為等腰三角形．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得2a=4，a=2c?a=2，c=1，b²=a²-c²=3
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1，圓的標準方程為（x-1）2+y²=1
（Ⅱ）設P（x，y），則M（4，y），F（1，0）
∵P（x，y）在橢圓上∴

x2

4

+

y2

3

=1?y²=

3

4

x2．
|PF|²=（x-1）²+y²=（x-1）²+3-

3

4

x²=

1

4

（x-4）²
|PM|²=|x-4|²，9+y²=12-

3

4

x²
∴|PF|=

1

2

|PM|，|PF|≠|PM|
（1）若|PF|=|FM|則|PF|+|FM|=|PM|這與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾
∴|PF|≠|PM|
（2）若|PM|=|FM|，則（x-4）²=12-

3

4

x²，解得x=4或x=

4

7

∵|x|≤2∴x=

4

7

∴y=±

3

7

15

∴P（

4

7

，±

3

7

15

）
綜上可得存在兩點P（

4

7

，

3

7

15

），P（

4

7

，-

3

7

15

）使得△PFM為等腰三角形．

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細求解．