Question

（本小題滿分14分）廣東某民營企業主要從事美國的某品牌運動鞋的加工生產，按國際慣例以美元為結算貨幣，依據以往加工生產的數據統計分析，若加工產品訂單的金額為萬美元，可獲得加工費近似為萬美元，受美聯儲貨幣政策的影響，美元貶值,由于生產加工簽約和成品交付要經歷一段時間，收益將因美元貶值而損失萬美元，其中為該時段美元的貶值指數，，從而實際所得的加工費為（萬美元）.
（Ⅰ）若某時期美元貶值指數，為確保企業實際所得加工費隨的增加而增加，該企業加工產品訂單的金額應在什么范圍內？
（Ⅱ）若該企業加工產品訂單的金額為萬美元時共需要的生產成本為萬美元，已知該企業加工生產能力為（其中為產品訂單的金額），試問美元的貶值指數在何范圍時，該企業加工生產將不會出現虧損.

Answer 1

（Ⅰ）加工產品訂單的金額，該企業實際所得加工費隨的增加而增加.
（Ⅱ）當美元的貶值指數時，該企業加工生產不會虧損.

解析試題分析：(I)當時，,然后求導根據導數大于零求得x的取值范圍.
(II)搞清本小題不會出現虧損，也就是當時，都有
,即恒成立,然后構造函數,利用導數研究它的最小值即可.
（Ⅰ）由已知得：，其中
所以，由，即，
解得
即加工產品訂單的金額，該企業實際所得加工費隨的增加而增加.
··································· 5分
（Ⅱ）依題設企業加工生產將不會出現虧損，則當時，都有
，······················· 7分
由得：
令，則
·········· 8分
令，則
········ 10分
可知在上單調遞減，從而，··· 11分
所以，可知在上單調遞減，因此，即   13分
故當美元的貶值指數時，該企業加工生產不會虧損. 14分
考點： 數學模型的建立，導數在求最值，單調區間中的應用.
點評：本小題關鍵是理解實際問題當中的要求如何通過數學方法實現，如企業實際所得加工費隨的增加而增加本質就是求函數f(x)的單調增區間.企業加工生產將不會出現虧損本質就是當時，不等式恒成立問題.