Question

【題目】如圖所示，AB是傾角為θ的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點與圓弧相切，圓弧的半徑為R．一個質量為m的物體（可以看作質點）從直軌道上與圓弧的圓心O等高的P點由靜止釋放，結果它能在兩軌道間做往返運動。已知物體與軌道AB間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g。試求：

（1）物體釋放后，第一次到達B處的速度大小，并求出物體做往返運動的整個過程中在AB軌道上通過的總路程s；

（2）最終當物體通過圓弧軌道最低點E時，對圓弧軌道的壓力的大小；

（3）為使物體能順利到達圓弧軌道的最高點D（E、O、D為同一條豎直直徑上的3個點），釋放點距B點的距離L應滿足什么條件。

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）

【解析】

（1）設物體釋放后，第一次到達B處的速度為，根據動能定理可知：

解得：

物體每完成一次往返運動，在AB斜面上能上升的高度都減少一些，最終當它達B點時，速度變為零，對物體從P到B全過程用動能定理，有

得物體在AB軌道上通過的總路程為

（2）最終物體以B為最高點在圓弧軌道底部做往返運動，設物體從B運動到E時速度為 v，由動能定理知：

在E點，由牛頓第二定律有

解得物體受到的支持力

根據牛頓第三定律，物體對軌道的壓力大小為，方向豎直向下。

（3）設物體剛好到達D點時的速度為此時有

解得：

設物體恰好通過D點時釋放點距B點的距離為，有動能定理可知：

聯立解得：

則：

答案：（1）； （2）； （3）