Question

【題目】設想在地球赤道平面內有一垂直于地面延伸到太空的輕質電梯，電梯頂端可超過地球的同步衛星高度（從地心算起）延伸到太空深處。這種所謂的太空電梯可用于低成本地發射繞地人造衛星，其發射方法是將衛星通過太空電梯勻速地提升到某高度，然后啟動推進裝置將衛星從太空電梯發射出去。

（1）、設在某次發射時，衛星在太空電梯中極其緩慢地勻速上升，該衛星在上升到0.80處意外地和太空電梯脫離（脫離時衛星相對于太空電梯上脫離處的速度可視為零）而進入太空。

a.論證衛星脫落后不會撞擊地面。

b.如果衛星脫落后能再次和太空電梯相遇，即可在它們相遇時回收該衛星。討論該衛星從脫落時刻起，在0~12小時及12~24小時兩個時間段內被太空該電梯回收的可能性。

（2）如果太空電梯地點位于東經110度處，在太空電梯上離地心距離為處有一衛星從電梯脫落（脫落時衛星相對于太空電梯上脫落處的速度可視為零），脫落后該衛星軌道剛好能和赤道某處相切，而使衛星在該點著地，試求衛星著地點的經度。提示：此問要用數值方法求解高次方程。

已知：地球質量，半徑的球體；引力恒量；地球自轉周期小時；假設衛星與太空電梯脫落后只受地球引力作用。

Answer 1

【答案】（1）a. 衛星不會撞擊地球 b. 可以實現衛星回收.（2）

【解析】

（1）a．通過計算衛星在脫離點的動能和萬有引力勢能可知，衛星的機械能為負值. 由開普勒第一定律可推知，此衛星的運動軌道為橢圓（或圓），地心為橢圓的一個焦點(或圓的圓心)，如圖所示.由于衛星在脫離點的速度垂直于地心和脫離點的連線，因此脫離點必為衛星橢圓軌道的遠地點（或近地點）；設近地點（或遠地點）離地心的距離為，衛星在此點的速度為.由開普勒第二定律可知

①

式中為地球自轉的角速度.令表示衛星的質量，根據機械能守恒定律有

②

由①和②式解得

③

可見該點為近地點,而脫離處為遠地點.

【③式結果亦可由關系式：

直接求得】

同步衛星的軌道半徑滿足

④

由③和④式并代入數據得

⑤

可見近地點到地心的距離大于地球半徑，因此衛星不會撞擊地球.

b．由開普勒第二定律可知衛星的面積速度為常量，從遠地點可求出該常量為

⑥

設和分別為衛星橢圓軌道的半長軸和半短軸，由橢圓的幾何關系有

⑦

⑧

衛星運動的周期為

⑨

代人相關數值可求出

⑩

衛星剛脫離太空電梯時恰好處于遠地點，根據開普勒第二定律可知此時刻衛星具有最小角速度，其后的一周期內其角速度都應不比該值小，所以衛星始終不比太空電梯轉動得慢；換言之，太空電梯不可能追上衛星.設想自衛星與太空電梯脫離后經過（約14小時），衛星到達近地點，而此時太空電梯已轉過此點，這說明在此前衛星尚未追上太空電梯.由此推斷在衛星脫落后的0-12小時內二者不可能相遇；而在衛星脫落后12-24小時內衛星將完成兩個多周期的運動，同時太空電梯完成一個運動周期，所以在12-24小時內二者必相遇，從而可以實現衛星回收.

（2）根據題意，衛星軌道與地球赤道相切點和衛星在太空電梯上的脫離點分別為其軌道的近地點和遠地點.在脫離處的總能量為

此式可化為

這是關于的四次方程，用數值方法求解可得

【亦可用開普勒第二定律和能量守恒定律求得.令表示衛星與赤道相切點即近地點的速率，則有

和

由上兩式聯立可得到方程

其中除外其余各量均已知,因此這是關于的五次方程.同樣可以用數值方法解得.】

衛星從脫離太空電梯到與地球赤道相切經過了半個周期的時間，為了求出衛星運行的周期，設橢圓的半長軸為，半短軸為，有

因為面積速度可表示為

所以衛星的運動周期為

代入相關數值可得

h

衛星與地球赤道第一次相切時已在太空中運行了半個周期，在這段時間內，如果地球不轉動，衛星沿地球自轉方向運行180度，落到西經處與赤道相切.但由于地球自轉，在這期間地球同時轉過了角度，地球自轉角速度

，

因此衛星與地球赤道相切點位于赤道的經度為西經

即衛星著地點在赤道上約西經121度處.