Question

【題目】如圖，半徑R=m的光滑圓弧軌道固定在豎直平面內，軌道的一個端點A和圓心O的連線與水平方向夾角θ=30°，另一端點B為軌道的最低點，其切線水平。一質量M=2kg、板長L=2.0m的滑板靜止在光滑水平地面上，右端緊靠B點，滑板上表面與圓弧軌道B點和左側固定平臺C等高。光滑水平面EF上靜止一質量為m=1kg的物體（可視為質點）P，另一物體Q以v0=m/s向右運動，與P發生彈性正碰，P隨后水平拋出，恰好從A端無碰撞進入圓弧軌道，且在A處對軌道無壓力，此后沿圓弧軌道滑下，經B點滑上滑板。滑板運動到平臺C時立刻被粘住。已知物塊P與滑板間動摩擦因數μ=0.5，滑板左端到平臺C右側的距離為s。取g=10m/s2，求：

（1）物體P經過A點時的速度；

（2）物體Q的質量mQ；

（3）物體P剛滑上平臺C時的動能EkC與s的函數表達式。

Answer 1

【答案】（1）2m/s；（2）0.5kg；（3）見解析。

【解析】

（1）設P在A點的速度為vA．由P無碰撞進入圓軌道，且在A處對軌道無壓力，則在A處，由重力指向圓心的分力提供P所需要的向心力，有

mgsinθ=m

解得

vA=2m/s

（2）對P在A點的速度分解，則其水平分速度

vx=vAsinθ=2×0.5m/s=1m/s

所以P的平拋初速度為

vx=2m/s

Q與P發生彈性碰撞，取向右為正方向，由動量守恒定律得

mQv0=mQvQ+mvx。

由機械能守恒得

mQv02=mQvQ2+mvx2。

聯立解得

mQ=0.5kg

（3）P從A點沿圓軌道滑至B點過程，由機械能守恒定律得

解得

vB=2m/s

P滑上滑板后，P帶動滑動滑板運動，設P與滑板能達到共速，此過程滑板向左運動位移為xM。

對P與滑板系統，取向左為正方向，由動量守恒定律有

mvB=（M+m）v共

解得

v共=m/s

對滑板，由動能定理得

μmgxM=

解得

xM=m

①當s≥xM=m時，P物體剛滑上平臺C時的動能EkC與s無關，對P和滑板，由能量關系有

EkC=-Q-△E

其中Q=μmgL

△E=

解得

EkC=J

②當s＜xM=m時，滑板與平臺相碰時，P與滑板未共速，對滑板，由動能定理得

fs=

對P和滑板，由能量關系有

其中 Q=μmgL

解得

EkC=（4-5s）J