Question

【題目】2015年4月16日，全球首創超級電容儲能式現代電車在中國寧波基地下線，如圖1所示。這種電車沒有傳統無軌電車的“長辮子”和空中供電網，沒有尾氣排放，乘客上下車的幾十秒內可充滿電并行駛幾公里，剎車和下坡時可把部分動能轉化成電能回收儲存再使用。

（1）圖2所示為超級電容器充電過程簡化電路圖，已知充電電源的電動勢為E，電路中的電阻為R。圖3是某次充電時電流隨時間變化的i-t圖像，其中I0、T0均為已知量。

a．類比是一種常用的研究方法，對于直線運動，我們學習了用v-t圖像求位移的方法。請你借鑒此方法，根據圖3所示的i-t圖像，定性說明如何求電容器充電所獲得的電荷量；并求出該次充電結束時電容器所獲得的電荷量Q；

b．請你說明在電容器充電的過程中，通過電阻R的電流為什么會逐漸減小；并求出電容器的電容C。

（2）研究發現，電容器儲存的能量表達式為，其中U為電容器兩端所加電壓，C為電容器的電容。設在某一次緊急停車中，在汽車速度迅速減為0的過程中，超級電容器兩極間電勢差由U1迅速增大到U2。已知電車及乘客總質量為m，超級電容器的電容為C0，動能轉化為電容器儲存的電能的效率為η。求電車剎車前瞬間的速度v0。

Answer 1

【答案】（1）a. b. （2）

【解析】(1)a．電容器充電所獲得的電荷量等于i-t圖線和橫、縱軸所圍的面積。

圖2中每一小格的面積為

圖線下約22小格，面積為 S = 22S0

所以電容器所獲得的電量；

b．電容器充電時，通過R的電流,U為電容器兩端的電壓，

隨著電容器上電荷量的增大，U也增大，所以電流i減小。

充電結束時，電容器兩端電壓等于電源的電動勢，即E = U

解得電容 ；

(2) 據能量守恒定律

解得電車剎車前瞬間的速度 。

點晴：此題主要考察了電容器的充電過程，借助圖像問題中的面積問題即解得由i-t圖像的格子面積求出電容上累計的電荷量；充電過程中，由于電容器兩端的電壓在不斷增加，電源的電動勢恒定，所以干路中電阻R兩端的電壓就在不斷減小，根據歐姆定律，所以干路中的電流在不斷變小；再根據Q-U圖像中的面積求解出電容器上存儲的能量表達式，最終可以求解電容器兩端的能量變化，結合能量守恒等相關問題。本題重點是電容和函數圖像面積問題，電容器在近幾年的高考中可以結合到恒定電路，電磁感應，能量守恒等相關內容；而圖像面積問題基本上是高考中必考內容之一，本題難度較難。