Question

【題目】萬有引力定律揭示了天體運動規律與地上物體運動規律具有內在一致性。

（1）用一彈簧秤稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結果。已知地球質量為M，自轉周期為T，萬有引力常量為G。將地球視為半徑為R，質量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響。設在地球北極地面稱量時，彈簧秤的讀數是F0。

a．若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧秤讀數為F1，求比值F1/F0的表達式，并就h=1.0%R的情形算出具體數值（計算結果保留兩位有效數字）；

b．若在赤道地面稱量，彈簧秤的讀數為F2，求比值F2/F0的表達式。

（2）設想地球繞太陽公轉的圓周軌道半徑為r，太陽的半徑為RS和地球的半徑R三者均減小為現在的1.0%，而太陽和地球的密度均勻且不變。僅考慮太陽和地球間的相互作用，以現實地球的1年為標準，計算“設想地球”的一年將變為多長？

Answer 1

【答案】(1) , (2)1年

【解析】

(1)在地球北極點自轉的半徑為零，則稱所稱得的重力則為其萬有引力，

有： ①

②

聯立兩式可得出：

赤道位置，萬有引力分成重力和自轉向心力： ③

由①和③可得：

(2)根據萬有引力提供向心力，有：

解得：

又因為

解得：

從上式可知，當太陽半徑減小到現在的1.0%時，地球公轉周期不變.