Question

【題目】如圖所示，傾角 θ=37°的光滑且足夠長的斜面固定在水平面上，在斜面頂端固定一個輪半徑和質量不計的光滑定滑輪 D，質量均為m=1kg 的物體A和B用一勁度系數k=240N/m 的輕彈簧連接，物體 B 被位于斜面底端且垂直于斜面的擋板P擋住。用一不可伸長的輕繩使物體 A 跨過定滑輪與質量為M的小環C連接，小環C穿過豎直固定的光滑均勻細桿，當整個系統靜止時，環C位于Q處，繩與細桿的夾角α=53°，且物體B對擋板P的壓力恰好為零。圖中SD水平且長度為d=0．2m，位置R與位置Q關于位置S對稱，輕彈簧和定滑輪右側的繩均與斜面平行。現讓環C從位置R由靜止釋放，且環C在下落過程中繩始終未松弛。sin37°=0．6，cos37°=0．8，g 取 10m/s2。求：

（1）小環 C 的質量 M；

（2）小環 C 通過位置 S 時的動能 Ek及環從位置R運動到位置S的過程中輕繩對環做的功WT；

（3）小環 C 運動到位置 Q 的速率 v．

Answer 1

【答案】（1）0．72kg（2）0．3J（3）2m/s

【解析】

試題分析：（1）先以AB組成的整體為研究對象，AB系統受到重力．支持力和繩子的拉力處于平衡狀態，則繩子的拉力為：T=2mgsinθ=2×10×sin37°=12N

以C為研究對象，則C受到重力、繩子的拉力和桿的彈力處于平衡狀態，如圖，則：Tcos53°=Mg

代入數據得：M=0．72kg

（2）由題意，開始時B恰好對擋板沒有壓力，所以B受到重力、支持力和彈簧的拉力，彈簧處于伸長狀態；產生B沿斜面方向的受力： F1=mgsinθ=1×10×sin37°=6N

彈簧的伸長量：△x1＝mgsinθ／k＝0．025m

當小環 C 通過位置 S 時Ａ下降的距離為xＡ＝＝0．05m

此時彈簧的壓縮量△x2=xＡ-△x1=0．025m

由速度分解可知此時A的速度為零,所以小環C從R運動到S的過程中,初末態的彈性勢能相等,對于小環C彈簧和A組成的系統機械能守恒有:

Mgdcotα+mgxＡsinθ=Ek

解得: Ek=1．38J

環從位置R運動到位置S的過程中,由動能定理可知:WT+ Mgdcotα= Ek

解得: WT=0．3J

⑶環從位置R運動到位置Q的過程中,對于小環C、彈簧和A組成的系統機械能守恒

Mg．（2dcotα）= vA =vcosα

兩式聯立可得: v=2m/s