Question

【題目】人類對未知事物的好奇和科學家們的不懈努力，使人類對宇宙的認識越來越豐富。

(1)開普勒堅信哥白尼的“日心說”，在研究了導師第谷在20余年中堅持對天體進行系統觀測得到的大量精確資料后，提出了開普勒三定律，為人們解決行星運動問題提供了依據，也為牛頓發現萬有引力定律提供了基礎。

開普勒認為：所有行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上。行星軌道半長軸的三次方與其公轉周期的二次方的比值是一個常量。實際上行星的軌道與圓十分接近，在中學階段的研究中我們按圓軌道處理。請你以地球繞太陽公轉為例，根據萬有引力定律和牛頓運動定律推導出此常量的表達式。

(2)天文觀測發現，在銀河系中，由兩顆相距較近、僅在彼此間引力作用下運行的恒星組成的雙星系統很普遍。已知某雙星系統中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一點做勻速圓周運動，周期為T，兩顆恒星之間的距離為d，引力常量為G。求此雙星系統的總質量。

(3)北京時間2019年4月10日21時，由全球200多位科學家合作得到的人類首張黑洞照片面世，引起眾多天文愛好者的興趣。

同學們在查閱相關資料后知道：①黑洞具有非常強的引力，即使以3×108m/s的速度傳播的光也不能從它的表面逃逸出去。②地球的逃逸速度是第一宇宙速度的倍，這個關系對于其他天體也是正確的。③地球質量me =6.0×1024kg，引力常量G= 6.67×10-11N m 2/ kg 2。

請你根據以上信息，利用高中學過的知識，通過計算求出：假如地球變為黑洞，在質量不變的情況下，地球半徑的最大值（結果保留一位有效數字）。（注意：解題過程中需要用到、但題目沒有給出的物理量，要在解題時做必要的說明）

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) 9×10-3m

【解析】

⑴設太陽質量為ms，地球質量為me，地球繞太陽公轉的半徑為r

太陽對地球的引力是地球做勻速圓周運動的向心力

根據萬有引力定律和牛頓運動定律

解得常量

⑵設雙星的質量分別為m1、m2，軌道半徑分別為r1、r2

根據萬有引力定律及牛頓運動定律

且有

雙星總質量

⑶設地球質量為me，地球半徑為R。質量為m的物體在地球表面附近環繞地球飛行時，環繞速度為v1

由萬有引力定律和牛頓第二定律

解得

逃逸速度

假如地球變為黑洞

v2≥c

代入數據解得地球半徑的最大值

R=9×10-3m