Question

【題目】在空間中幾個點(diǎn)依次放置幾個點(diǎn)電荷，，，，…，，對于點(diǎn)，其余個點(diǎn)電荷在這一點(diǎn)上的電勢和為，若在這個點(diǎn)上換上另個點(diǎn)電荷，，，…，，同理定義

（1）證明：

（2）利用（1）中結(jié)論，證明真空中一對導(dǎo)體電容器的電容值與這兩個導(dǎo)體的帶電量無關(guān)．（這對導(dǎo)體帶等量異號電荷）

（3）利用（1）中的結(jié)論，求解如下問題：如圖所示，正四面體各面均為導(dǎo)體，但又彼此絕緣．已知帶電后四個面的靜電勢分別為、、和，求四面體中心點(diǎn)的電勢

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)對點(diǎn)所產(chǎn)生的電勢為，同理易知點(diǎn)對點(diǎn)產(chǎn)生電勢為，而對于此二點(diǎn)系統(tǒng)，我們有，即

所以，，易知為只與位置有關(guān)的參量．

又（令）

則（只與位置有關(guān)）

所以，

所以原式（格林互易定理）成立

（2）分別設(shè)兩導(dǎo)體前后所帶靜電分別為，，其對應(yīng)的電容分別為、

則由（1）知，（其中，為帶時兩導(dǎo)體電勢）

同樣（其中，為帶時兩導(dǎo)體電勢）

由（1）知二者相等，則

所以，

即與導(dǎo)體帶電量多少無關(guān)．

（3）由題意，設(shè)四個面與中心的電荷量分別為、、、、0

同時，四個面與中心的電勢分別為、、、、．

現(xiàn)將外面四個面接地，中心放一個電量為的點(diǎn)電荷，中心電勢為，而四個面產(chǎn)生的感應(yīng)電荷都相等，為，則此時四個面與中心的電荷和電勢分別為

、、、、；0、0、0、0、

由格林互易定理可得

即可得