Question

【題目】在行星繞太陽的橢圓運動中，若令，，其中，為周期，為半長軸，為離心率．在天文學上，稱為偏近點角，試證開普勒方程：．（當行星處子近日點時，取，即）注：偏近點角是過橢圓上的任意一點，垂直于橢圓半長軸，交半長軸外接圓的點到原點的直線與半長軸所成夾角．在橢圓的參數方程，中，參數角即為偏近點角

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

方法1：由能量關系，得

則． ①

由于，則．

由于，其中，則．

由于，則

， ②

則， ③

． ④

把③④代入①，得．

代入②，得．

由開普勒第三定律，得，則．

積分，得．

由于處于近點時，，而此時，得，則，

即．

方法2：建立如圖所示的坐標系，則軌道方程為

．

同時，，．

對于任意一點，有，

而，則．

為此，作以為圓心，以為半徑的圓，方程為．

過作軸平行線交圓于，則，．

為從近日點到任意點的時間，其間轉過了圈，則．

為面積速度，，關鍵是求，由于對于同樣的，橢圓、圓上對應的縱坐標、，易知，則，則．

又，

．

則，

則，

則，

則．

上面計算中，只取了中的一個值，故只需再推廣的定義，上式即化為．