Question

【題目】靜止在水平面上的小車固定在剛性水平輕桿的一端，桿的另一端通過小圓環套在豎直光滑的立柱上。每當小車停止運動時，車上的彈簧槍就會沿垂直于輕桿的水平方向自動發射一粒彈丸，然后自動壓縮彈簧并裝好一粒彈丸等待下次發射,直至射出所有彈丸。下圖為該裝置的俯視圖。已知未裝彈丸的小車質量為M，每粒彈丸的質量為m，每次發射彈丸釋放的彈性勢能為E，發射過程時間極短；小車運動時受到一個與運動方向相反、大小為小車對地面壓力λ倍的作用力；忽略所有摩擦阻力，重力加速度為g。

（1）若小車上只裝一粒彈丸，求彈丸被射出時小車的速度大小；

（2）若（1）問中發射彈丸后小車恰能運動一周，求射出彈丸時，桿對小車的拉力大小；

（3）若小車上共裝15粒彈丸，輕桿能承受的最大拉力（L為小車做圓周運動的半徑），則須滿足什么條件輕桿才不會被拉斷？小車做圓周運動的總路程的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）（2）4πMg（3），

【解析】

（1）發射彈丸的過程，遵守動量守恒和機械能守恒mv=MV，

能量守恒：E=

聯立解得：

（2）發射彈丸后，小車做圓周運動，圓周半徑為 L，

由動能定理得：，

其中x=2πL

彈丸剛被射出時桿受到的拉力

解得：F=4πMg

（3）某次發射后，小車（連同彈簧槍）和車載彈丸的總質量為Mk=km（k從某一較大值開始減小，可取15個值，且k>15）

與上述同理可知：

由此可知，彈丸全部射完，k取最小值M/m時，桿的拉力最大，

若此時還能滿足

則桿不會被拉斷，解得

與上述同理可知，某次發射后到下一次發射前小車做圓周運動的路程：

由此式可知，每發射一粒彈丸后，小車做圓周運動的路程增大一些，因此要小車做圓周運動的總路程最大，k應該取最小的15個值（對應將15粒彈丸全部射出），

即應取 取k=29、28、……、15，

最大總路程為=