Question

【題目】(2015·全國卷ⅡT25)下暴雨時，有時會發生山體滑坡或泥石流等地質災害。某地有一傾角為θ＝37°(sin 37°＝)的山坡C，上面有一質量為m的石板B，其上下表面與斜坡平行；B上有一碎石堆A(含有大量泥土)，A和B均處于靜止狀態，如圖所示。假設某次暴雨中，A浸透雨水后總質量也為m(可視為質量不變的滑塊)，在極短時間內，A、B間的動摩擦因數μ1減小為，B、C間的動摩擦因數μ2減小為0.5，A、B開始運動， 此時刻為計時起點；在第2 s末，B的上表面突然變為光滑，μ2保持不變．已知A開始運動時，A離B下邊緣的距離l＝27m，C足夠長。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。取重力加速度大小g＝10 m/s2。求：

(1)在0～2s時間內A和B加速度的大小；

(2)A在B上總的運動時間。

Answer 1

【答案】 (1)3 m/s2 1 m/s2 (2)4 s

【解析】 (1)在0～2 s時間內，A和B的受力如圖所示，其中f1、N1是A與B之間的摩擦力和正壓力的大小，f2、N2是B與C之間的摩擦力和正壓力的大小，方向如圖所示．由滑動摩擦力公式和力的平衡條件得

f1＝μ1N1 ①

N1＝mgcos θ ②

f2＝μ2N2 ③

N2＝N′1＋mgcos θ ④

規定沿斜面向下為正．設A和B的加速度分別為a1和a2，由牛頓第二定律得

mgsin θ－f1＝ma1 ⑤

mgsin θ－f2＋f′1＝ma2 ⑥

N1＝N′1

f1＝f′1

聯立①②③④⑤⑥式，并代入題給數據得

a1＝3 m/s2 ⑦

a2＝1 m/s2 ⑧

(2)在t1＝2 s時，設A和B的速度分別為v1和v2，

則v1＝a1t1＝6 m/s ⑨

v2＝a2t1＝2 m/s ⑩

t＞t1時，設A和B的加速度分別為a′1和a′2.此時A與B之間的摩擦力為零，同理可得

a′1＝6 m/s2

a′2＝－2 m/s2

B做減速運動．設經過時間t2，B的速度減為零，則有

v2＋a′2t2＝0

聯立⑩式得

t2＝1 s

在t1＋t2時間內，A相對于B運動的距離為

s＝v1t2+－（＋v2t2+）

＝12 m＜27 m

此后B靜止，A繼續在B上滑動．設再經過時間t3后A離開B，則有

l－s＝(v1＋a′1t2)t3＋a′1

可得t3＝1 s(另一解不合題意，舍去)

設A在B上總的運動時間為t總，有

t總＝t1＋t2＋t3＝4 s