Question

【題目】如圖所示，足夠長的光滑絕緣水平臺左端固定一被壓縮的絕緣輕質彈簧，一個質量m＝0.04kg，電量q＝＋2×10－4C的可視為質點的帶電滑塊與彈簧接觸但不栓接．某一瞬間釋放彈簧彈出滑塊，滑塊從水平臺右端A點水平飛出，恰好能沒有碰撞地落到粗糙傾斜軌道的最高B點，并沿軌道滑下．已知AB的豎直高度h＝0.45m，傾斜軌道與水平方向夾角為α＝37°，傾斜軌道長為L＝2.0m，帶電滑塊與傾斜軌道的動摩擦因數μ＝0.5．傾斜軌道通過光滑水平軌道CD（足夠長）與光滑豎直圓軌道相連，在C點沒有能量損失，所有軌道都絕緣，運動過程滑塊的電量保持不變．只有在豎直圓軌道處存在場強大小為E＝2×103V/m，方向豎直向下的勻強電場．cos37°=0.8，sin37°=0.6，重力加速度g取10 m/s2，求：

(1)被釋放前彈簧的彈性勢能？

(2)要使滑塊不離開圓軌道，豎直圓弧軌道的半徑應該滿足什么條件？

(3)如果豎直圓弧軌道的半徑R＝0.9m，滑塊進入軌道后可以有多少次通過豎直圓軌道上距水平軌道高為0.01m的點P位置？

Answer 1

【答案】(1) (2)或 (3)6次

【解析】

（1）釋放彈簧后彈簧的彈性勢能轉化為小球的動能．先根據小球從A到B平拋運動過程，求出小球到B點時豎直分速度，由速度的分解求出到A點的速度，即可根據機械能守恒求解被釋放前彈簧的彈性勢能．（2）要使小球不離開軌道，有兩種情況：第一種情況：是恰好過豎直圓軌道最高點時，先由牛頓第二定律和向心力知識求出到最高點的速度，再由動能定理求解軌道半徑．第二種情況：小球恰好到豎直圓軌道最右端，由動能定理求解軌道半徑．（3）根據R=0.9m與上題結果中軌道半徑R2的關系，知道小球沖上圓軌道H1=0.825m高度時速度變為0，然后返回傾斜軌道h1高處再滑下，然后再次進入圓軌道達到的高度為H2．對兩個過程，由動能定理求出H2與H1的關系，歸納得到n次上升高度Hn，運用數學知識求解．

（1）A到B平拋運動代入數據解得；

B點：，得；

被釋放前彈簧的彈性勢能：；

（2）B點：，

B到C：，代入數據解得，

①恰好過豎直圓軌道最高點時：，；

從C到圓軌道最高點：，得；

②恰好到豎直圓軌道最右端時，得；

要使小球不離開軌道，豎直圓弧軌道的半徑或；
（3），小球沖上圓軌道高度時速度變為0，然后返回傾斜軌道高處再滑下，然后再次進入圓軌道達到的高度為．
有，，
同除得

之后物塊在豎直圓軌道和傾斜軌道之間往返運動．
同理：n次上升高度為一等比數列．

，當n=4時，上升的最大高度小于0.01m
則小球共有6次通過距水平軌道高為0.01m的某一點．