Question

【題目】如圖所示，一個質量為M長為L的圓管豎直放置，頂端塞有一個質量為m的彈性小球，M＝4 m，球和管間的滑動摩擦力和最大靜摩擦力大小均為4 mg。管從下端離地面距離為H處自由落下，運動過程中，管始終保持豎直，每次落地后向上彈起的速度與落地時速度大小相等，不計空氣阻力，重力加速度為g。求：

(1)管第一次落地彈起時管和球的加速度；

(2)管第一次落地彈起后，若球沒有從管中滑出，則球與管達到相同速度時，管的下端距地面的高度；

(3)管第二次彈起后球不致滑落，L應滿足什么條件。

Answer 1

【答案】(1)2g向下　3g向上　(2) H　(3)L＞H

【解析】（1）管第一次落地彈起時，管的加速度a1＝＝2g，方向向下
球的加速度a2＝＝3g，方向向上
（2）取豎直向下為正方向．球與管第一次碰地時速度v0＝ ，方向向下．
碰地后管的速度v1＝，方向向上；球的速度v2＝，方向向下
若球剛好沒有從管中滑出，設經過時間t1，球管速度v相同，則有

-v1+a1t1=v2-a2t1t1＝
又管從碰地到它彈到最高點所需時間t2，則：
因為t1＜t2，說明管在達到最高點前，球與管相對靜止，故管從彈起經t1這段時間上升的高度為所求．得

（3）球與管達到相對靜止后，將以速度v、加速度g豎直上升到最高點，由于v＝v2a2t1＝，
故這個高度是

因此，管第一次落地彈起后上升的最大高度Hm＝h1+h2＝H
這一過程球運動的位移s＝v0t1a2t12＝H
則球與管發生相對位移s1＝h1+s＝H
當管與球從Hm再次下落，第二次落地彈起中，發生的相對位移由第一次可類推知：

s2＝Hm
所以管第二次彈起后，球不會滑出管外的條件是s1+s2＜L
即L應滿足條件L＞H