Question

【題目】（1）牛頓發現萬有引力定律之后，在卡文迪許生活的年代，地球的半徑經過測量和計算已經知道約6400千米，因此卡文迪許測出引力常量G后，很快通過計算得出了地球的質量。1798年，他首次測出了地球的質量數值，卡文迪許因此被人們譽為“第一個稱地球的人”。若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，萬有引力常量為G，忽略地球的自轉。

a．求地球的質量；

b．若一衛星在距地球表面高為h的軌道上繞地球作勻速圓周運動，求該衛星繞地球做圓周運動的周期；

（2）牛頓時代已知如下數據：月球繞地球運行的周期T、地球半徑R、月球與地球間的距離60R、地球表面的重力加速度g。牛頓在研究引力的過程中，為了驗證地面上物體的重力與地球吸引月球的力是同一性質的力，同樣遵從與距離的平方成反比規律的猜想，他做了著名的“月地檢驗”：月球繞地球近似做勻速圓周運動。牛頓首先從運動學的角度計算出了月球做勻速圓周運動的向心加速度；接著他設想，把一個物體放到月球軌道上，讓它繞地球運行，假定物體在地面受到的重力和在月球軌道上運行時受到的引力，都是來自地球的引力，都遵循與距離的平方成反比的規律，他又從動力學的角度計算出了物體在月球軌道上的向心加速度。上述兩個加速度的計算結果是一致的，從而證明了物體在地面上所受的重力與地球吸引月球的力是同一性質的力，遵循同樣規律的設想。根據上述材料：

a．請你分別從運動學的角度和動力學的角度推導出上述兩個加速度的表達式；

b．已知月球繞地球做圓周運動的周期約為T=2.4×106s，地球半徑約為R=6.4×106m，取π2=g．結合題中的已知條件，求上述兩個加速度的比值，并得出合理的結論。

Answer 1

【答案】（1）a．；b．；（2）a．；b．； 由以上結果可以看出，在誤差范圍內可認為a1=a2，這說明物體在地面上所受重力與地球吸引月球的力是同一性質的力，遵循與距離的平方成反比的規律．

【解析】解：（1）a．設地球質量為M，地球表面上的某物體質量為m：

解得：

b．萬有引力提供衛星做圓周運動的向心力：

解得：

（2）a．月球繞地球做勻速圓周運動，由運動學公式：

解得：

質量為m的物體在地面上受到的重力：

質量為m的物體在月球軌道上受到的引力：

解得：

b．由以上結果得：

代入已知數值得：=0.96

由以上結果可以看出，在誤差范圍內可認為a1=a2，這說明物體在地面上所受重力與地球吸引月球的力是同一性質的力，遵循與距離的平方成反比的規律。