Question

【題目】1932年美國物理學家勞倫斯發明了回旋加速器，巧妙地利用帶電粒子在磁場中運動特點，解決了粒子的加速問題。現在回旋加速器被廣泛應用于科學研究和醫學設備中。回旋加速器的工作原理如圖甲所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過的時間可以忽略不計。磁感應強度為B的勻強磁場與盒面垂直，加速器接一定頻率的高頻交流電源，保證粒子每次經過電場都被加速，加速電壓為U。A處粒子源產生的粒子，質量為m、電荷量為q，初速度不計，在加速器中被加速，加速過程中不考慮相對論效應和重力作用。

（1）求第1次被加速后粒子的速度大小為v；

（2）經多次加速后，粒子最終從出口處射出D形盒，求粒子射出時的動能和在回旋加速器中運動的總時間t；

（3）近年來，大中型粒子加速器往往采用多種加速器的串接組合。例如由直線加速器做為預加速器，獲得中間能量，再注入回旋加速器獲得最終能量。個長度逐個增大的金屬圓筒和一個靶，它們沿軸線排列成一串，如圖乙所示（圖中只畫出了六個圓筒，作為示意）。各筒相間地連接到頻率為、最大電壓值為的正弦交流電源的兩端。整個裝置放在高真空容器中。圓筒的兩底面中心開有小孔。現有一電量為q、質量為m的正離子沿軸線射入圓筒，并將在圓筒間的縫隙的時間可以不計。已知離子進入第一個圓筒左端的速度為，且此時第一、二兩個圓筒間的電勢差。為使打到靶上的離子獲得最大能量 ，各個圓筒的最小長度應滿足什么條件？并求出在這種情況下打到靶上的離子的能量。

Answer 1

【答案】（1） （2） ， （3） ，

【解析】（1）粒子第1次被加速后，，；

（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，當運動軌跡的半徑時，粒子的速度最大，

動能最大，設最大速度為，有，

粒子獲得的最大動能，

粒子在磁場中運動一個周期，被電場加速兩次。設粒子到出口處被加速了n次，，解得，

帶電粒子在磁場中運動的周期為，

粒子在磁場中運動的總時間；

（3）為使正離子獲得最大能量，要求離子每次穿越縫隙時，前一個圓筒的電勢比后一個圓筒的電勢高U，這就要求離子穿過每個圓筒的時間都恰好等于交流電的半個周期。由于圓筒內無電場，離子在筒內做勻速運動。

設離子在第n個圓筒內的速度為，第n個圓筒的長度為，則有

，，，

第n個圓筒的長度應滿足的條件為，

打到靶上的離子的能量為。