Question

【題目】（19分）某校舉行托乒乓球跑步比賽，賽道為水平直道，比賽距離為S。比賽時，某同學將球置于球拍中心，以大小為a的加速度從靜止開始做勻加速直線運動，當速度達到v0時，再以v0做勻速直線運動跑至終點。整個過程中球一直保持在球拍中心不動。比賽中，該同學在勻速直線運動階段保持球拍的傾角為θ0，如題25圖所示。設球在運動中受到空氣阻力大小與其速度大小成正比，方向與運動方向相反，不計球與球拍之間的摩擦，球的質量為m，重力加速度為g。

（1）求空氣阻力大小與球速大小的比例系數；

（2）求在加速跑階段球拍傾角隨速度變化的關系式；

（3）整個勻速跑階段，若該同學速度仍為v0，而球拍的傾角比θ0大了β并保持不變，不計球在球拍上的移動引起的空氣阻力變化，為保證到達終點前球不從球拍上距離中心為r的下邊沿掉落，求β應滿足的條件。

Answer 1

【答案】（1）tanθ0（2）tanθ=+tanθ0（3）a’t2≤r

【解析】

（1）在勻速運動階段，有mgtanθ0=kv0，

解得：k=tanθ0。

（2）加速階段，設球拍對球的支持力為N’，有N’sinθ-kv=ma，

N’cosθ=mg

聯立解得：tanθ=+tanθ0。

（3）以v0做勻速直線運動時，設空氣阻力與重力的合力為F，有

F=。

球拍傾角為θ0+β時，空氣阻力與重力的合力不變，設球沿球拍面下滑的加速度大小為a’，有

Fsinβ=ma’，

設勻速跑階段所用時間為t，有：t=-，

球不從球拍上掉落的條件為a’t2≤r。

解得sinβ≤cosθ0。