Question

【題目】如圖所示，已知半徑分別為R和r的甲、乙兩個光滑的圓形軌道安置在同一豎直平面內，甲軌道左側又連接一個光滑的軌道，兩圓形軌道之間由一條水平軌道CD相連，一小球自某一高度由靜止滑下，先滑過甲軌道，通過動摩擦因數為μ的CD段，又滑過乙軌道，最后離開，若小球在兩圓形軌道的最高點對軌道壓力都恰好為零，試求：

（1）釋放小球的高度h；
（2）水平軌道CD的長度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：小球在光滑圓軌道上滑行時，機械能守恒，設小球滑過C點時的速度為vc，通過甲環最高點速度為v′，根據小球對最高點壓力為零，有：

…①

取軌道最低點為零勢能點，由機械守恒定律有：

=mg2R+ …②

由①、②兩式消去v′，可得： …③

同理可得小球滑過D點時的速度為： …④

所以小球經過C點的速度為 ，經過D點的速度為

小球從在甲軌道左側光滑軌道滑至C點時機械能守恒，有： …⑤

由③、⑤兩式聯立解得：h=2.5R

因此小球釋放的高度為2.5R

（2）

解：設CD段的長度為l，對小球滑過CD段過程應用動能定理有：

…⑥

由③、④、⑥三式聯立解得：

則有水平CD段的長度為

【解析】（1）小球滾到兩圓軌道最高點均僅受重力，運用向心力公式可求出在其位置的速度．因為軌道光滑，則由機械能守恒定律可求出軌道最低點速度，從而可求出釋放小球時的高度h．（2）由于CD段粗糙，不能運用機械守恒定律，選用動能定理，就可算出CD的長度．