Question

【題目】如圖所示，xOy為豎直面內的直角坐標系，在y軸兩側存在電場強度大小相等的勻強電場，y軸右側電場方向豎直向下，y軸左側電場方向豎直向上。y軸左側還存在一個方向垂直于坐標平面的圓形有界勻強磁場（圖中未畫出），磁場邊界與y軸相切于O點。現有一個質量為m、電荷量為q的帶正電小球，用長為l、不可伸長的絕緣細線懸掛在P點的釘子上，P點與坐標原點O的距離亦為l。將小球拉至細線繃直且與y軸負方向成60°角無初速釋放，小球擺至O點即將進入磁場時細線恰好斷裂。最終小球剛好擊中P點的釘子，此時速度方向與y軸正方向成30°角。已知細線能承受的最大張力Fm=4mg，小球可視為質點，重力加速度為g，不計阻力。求：

（1）電場強度的大小；

（2）磁感應強度的大小和磁場區域的面積；

（3）小球在x＜0區域運動的時間。（結果用m、q、l、g表示）

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ，；(3)

【解析】

（1）設小球從靜止釋放運動到O點時的速率為v0，由動能定理得

在O處細線恰好斷裂，由牛頓第二定律得

而

Fm=4mg

聯立解得

，

（2）由前面分析可知小球在O處進入磁場后，重力與電場力恰好平衡，粒子做勻速圓周運動。出磁場后做勻速直線運動到達P處。粒子運動軌跡如圖所示

O1、O2分別為軌跡圓心、磁場圓心，設r、R分別為軌跡圓、磁場圓的半徑，根據幾何關系有

解得

由牛頓第二定律得

解得

方向垂直于紙面向外；由幾何關系可知

，

解得

（3）小球在磁場中運動軌跡所對的圓心角為，所用的時間

出磁場后勻速直線運動，所用時間

故小球在x<0區域運動的時間