Question

【題目】為紀念“光纖之父”、諾貝爾物理學獎獲得者華裔物理學家高錕的杰出貢獻，早在1996年中國科學院紫金山天文臺就將一顆于1981年12月3日發現的國際編號為“3463”的小行星命名為“高錕星”．已知“高錕星”半徑為R，其表面的重力加速度為g，萬有引力常量為G，在不考慮自轉的情況，求：（以下結果均用字母表達即可）

（1）衛星環繞“高錕星”運行的第一宇宙速度；

（2）假設某衛星繞“高錕星”做勻速圓周運動且運行周期為T，求該衛星距地面的高度；

（3）假設“高錕星”為一均勻球體，試求“高錕星”的平均密度（球體積V= πR3）．

Answer 1

【答案】（1） (2) (3)

【解析】

（1）設高錕星的質量為，其近地衛星的質量為m，該衛星貼著高錕星做勻速圓周運動

根據萬有引力提供向心力可得：

由因為在高錕星表面重力和萬有引力相等，即：

解得衛星環繞高錕星運行的第一宇宙速度為

（2）設該衛星質量為，軌道半徑為r，

則：

又在高錕星表面滿足：

而軌道半徑

聯立解得衛星距地面高度

（3）在高錕星表面處有：，得：

則密度

【點晴】

（1）根據高錕星的近地環繞衛星，可求出該衛星運行的第一宇宙速度；

（2）根據萬有引力提供向心力，以及萬有引力等于重力，求出衛星的軌道半徑，從而得出衛星距離地面的高度；

（3）結合“高錕星”的質量，求出密度的大小