Question

【題目】如圖所示，在豎直平面內，粗糙的斜面軌道AB的下端與光滑的圓弧軌道BCD相切于B，C是最低點，圓心角∠BOC＝37°，D與圓心O等高，圓弧軌道半徑R＝1.0 m，現有一個質量為m＝0.2 kg可視為質點的物體，從D點的正上方E點處自由下落，D、E兩點間的距離h＝1.6m，物體與斜面AB之間的動摩擦因數μ＝0.5，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，不計空氣阻力．求：

(1)物體第一次通過C點時，物體對軌道C點的壓力大��；

(2)要使物體不從斜面頂端飛出，斜面的長度LAB至少要多長；

(3)若斜面已經滿足第(2)問要求，物體從E點開始下落，直至最后在光滑圓弧軌道上做周期性運動，求在此過程中系統因摩擦所產生的熱量Q

Answer 1

【答案】（1）12.4N（2）2.4m（3）4.8J．

【解析】

（1）物體從E到C，由機械能守恒得：

①

在C點，由牛頓第二定律得：

②

聯立①②解得支持力

FN=12.4N③

（2）從E～D～C～B～A過程，由動能定理得

WG-Wf=0④

WG=mg[（h+Rcos37°）-LABsin37°]⑤

Wf=μmgcos37°LAB⑥

聯立④⑤⑥解得斜面長度至少為：

LAB=2.4m⑦

（3）因為，mgsin37°＞μmgcos37°（或μ＜tan37°）
所以物體不會停在斜面上．物體最后以C為中心，B為一側最高點沿圓弧軌道做往返運動．
從E點開始直至穩定，系統因摩擦所產生的熱量

Q=△EP⑧

△EP=mg（h+Rcos37°） ⑨

聯立⑥、⑦解得

Q=4.8J ⑩

在運動過程中產生熱量為4.8J．