Question

（2012•臺州）如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為（　�。�

• A．1
• B．

  3

• C．2
• D．

  3

  +1

Answer 1

分析：先根據四邊形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°可知∠B=60°，作點P關于直線BD的對稱點P′，連接P′Q，PC，則P′Q的長即為PK+QK的最小值，由圖可知，當點Q與點C重合，CP′⊥AB時PK+QK的值最小，再在Rt△BCP′中利用銳角三角函數的定義求出P′C的長即可．

解答：解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A=120°，
∴∠B=180°-∠A=180°-120°=60°，
作點P關于直線BD的對稱點P′，連接P′Q，P′C，則P′Q的長即為PK+QK的最小值，由圖可知，當點Q與點C重合，CP′⊥AB時PK+QK的值最小，
在Rt△BCP′中，
∵BC=AB=2，∠B=60°，
∴P′Q=CP′=BC•sinB=2×

3

2

=

3

．
故選B．

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題及菱形的性質，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．