Question

拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，點D為頂點．

（1）求點B及點D的坐標．
（2）連結BD，CD，拋物線的對稱軸與x軸交于點E．
①若線段BD上一點P，使∠DCP=∠BDE，求點P的坐標．
②若拋物線上一點M，作MN⊥CD，交直線CD于點N，使∠CMN=∠BDE，求點M的坐標．

Answer 1

（1）B的坐標為（3，0）   D的坐標為（1，－4）
（2）①點P的坐標為（，）②點M坐標為（）或（5，12）

解：（1）∵拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），
∴當y=0時，，解得x=3或x=﹣1。∴點B的坐標為（3，0）。
∵，∴頂點D的坐標為（1，－4）。
（2）①如圖，

∵拋物線與y軸交于點C，
∴C點坐標為（0，－3）。
∵對稱軸為直線x=1，
∴點E的坐標為（1，0）。
連接BC，過點C作CH⊥DE于H，則H點坐標為（1，﹣3），
∴CH=DH=1。
∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°。
∴CD=，CB=3，△BCD為直角三角形。
分別延長PC、DC，與x軸相交于點Q，R。
∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，
∴∠CDB=∠QCO。∴△BCD∽△QOC。∴。
∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）.
∴直線CQ的解析式為。
又直線BD的解析式為，
由方程組解得：。
∴點P的坐標為（，）。
②（Ⅰ）當點M在對稱軸右側時，
若點N在射線CD上，如圖，

延長MN交y軸于點F，過點M作MG⊥y軸于點G．，
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE。∴。∴MN=2CN。
設CN=a，則MN=2a。
∵∠CDE=∠DCF=45°，
∴△CNF，△MGF均為等腰直角三角形。
∴NF=CN=a，CF=a。∴MF=MN+NF=3a。∴MG=FG=a。
∴CG=FG﹣FC=a。
∴M（a，）。
代入拋物線，解得a=。，
∴M（）。
若點N在射線DC上，如圖，

MN交y軸于點F，過點M作MG⊥y軸于點G，
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，∴。
∴MN=2CN。．
設CN=a，則MN=2a。
∵∠CDE=45°，
∴△CNF，△MGF均為等腰直角三角形。，
∴NF=CN=a，CF=a。
∴MF=MN﹣NF=a，∴MG=FG=a。∴CG=FG+FC=a。∴M（a，）。
代入拋物線，解得a=。
∴M（5，12）。
（Ⅱ）當點M在對稱軸左側時，
∵∠CMN=∠BDE＜45°，∴∠MCN＞45°。
而拋物線左側任意一點K，都有∠KCN＜45°，∴點M不存在。
綜上可知，點M坐標為（）或（5，12）。
（1）解方程，求出x=3或﹣1，根據拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），確定點B的坐標為（3，0）；將拋物線寫成頂點式，即可確定頂點D的坐標。
（2）①根據拋物線，得到點C、點E的坐標．連接BC，過點C作CH⊥DE于H，由勾股定理得出CD=，CB=3，證明△BCD為直角三角形．分別延長PC、DC，與x軸相交于點Q，R．根據兩角對應相等的兩三角形相似證明△BCD∽△QOC，則，得出Q的坐標（﹣9，0），運用待定系數法求出直線CQ的解析式為，直線BD的解析式為，解方程組，即可求出點P的坐標。
②分點M在對稱軸右側和點M在對稱軸左側兩種情況進行討論：（Ⅰ）當點M在對稱軸右側時，分點N在射線CD上和點N在射線DC上兩種情況討論；（Ⅱ）當點M在對稱軸左側時，由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根據直角三角形兩銳角互余得出∠MCN＞45°，而拋物線左側任意一點K，都有∠KCN＜45°，所以點M不存在。