Question

（2012•寧波）如圖，用鄰邊分別為a，b（a＜b）的矩形硬紙板裁出以a為直徑的兩個半圓，再裁出與矩形的較長邊、兩個半圓均相切的兩個小圓．把半圓作為圓錐形圣誕帽的側面，小圓恰好能作為底面，從而做成兩個圣誕帽（拼接處材料忽略不計），則a與b滿足的關系式是（　　）

• A．b=

  3

  a
• B．b=

  5 +1

  2

  a
• C．b=

  5

  2

  a
• D．b=

  2

  a

Answer 1

分析：首先利用圓錐形圣誕帽的底面周長等于側面的弧長求得小圓的半徑，然后利用兩圓外切的性質求得a、b之間的關系即可．

解答：解：∵半圓的直徑為a，
∴半圓的弧長為

πa

2

∵把半圓作為圓錐形圣誕帽的側面，小圓恰好能作為底面，
∴設小圓的半徑為r，則：2πr=

πa

2

解得：r=

a

4

∴AC=

1

2

a-r=

a

4

，
如圖小圓的圓心為B，半圓的圓心為C，作BA⊥CA于A點，
則：AC²+AB²=BC²
即：（

a

4

）²+（

b

2

）²=（

3a

4

）²
整理得：b=

2

a
故選D．

點評：本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是利用兩圓相外切的性質得到兩圓的圓心距，從而利用勾股定理得到a、b之間的關系．