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2025年多維互動提優課堂九年級數學上冊蘇科版提升版
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1. 下列方程屬于一元二次方程的是 (
B
)
A.$2xy - 7 = 0$
B.$x^2 - 7 = 0$
C.$-7x = 0$
D.$5(x + 1) = 7^2$
答案：【解析】：
本題主要考察一元二次方程的定義，即只含有一個未知數，且未知數的最高次數為2的整式方程。
A選項：$2xy - 7 = 0$，此方程含有兩個未知數x和y，因此不是一元二次方程。
B選項：$x^2 - 7 = 0$，此方程只含有一個未知數x，且x的最高次數為2，滿足一元二次方程的定義。
C選項：$-7x = 0$，此方程只含有一個未知數x，但x的最高次數為1，因此不是一元二次方程。
D選項：$5(x + 1) = 7^2$，展開后為$5x + 5 = 49$，此方程只含有一個未知數x，但x的最高次數為1，因此不是一元二次方程。
【答案】：
B
2. 方程$2x^2 - 3x = 2$的一次項系數和常數項分別是 (
D
)
A.2和2
B.$-3$和2
C.3和$-2$
D.$-3和-2$
答案：【解析】：
本題考查一元二次方程的一般形式，即$ax^2 + bx + c = 0$（其中$a \neq 0$）的形式。
在這個形式中，$ax^2$是二次項，$bx$是一次項，$c$是常數項。
題目給出的方程是$2x^2 - 3x = 2$，為了找到一次項系數和常數項，需要先將方程化為一般形式。
將方程$2x^2 - 3x = 2$移項，得到$2x^2 - 3x - 2 = 0$。
在這個一般形式中，可以清晰地看到一次項系數是$-3$，常數項是$-2$。
【答案】：
D. $-3$和$-2$。
3. 若關于$x的一元二次方程(x - a)^2 - 4 = b$有實數根,則$b$的取值范圍是 (
D
)
A.$b ＞ 4$
B.$b ＞ -4$
C.$b \geq 4$
D.$b \geq -4$
答案：解：$(x - a)^2 - 4 = b$
移項得$(x - a)^2 = b + 4$
∵一元二次方程有實數根，
∴$(x - a)^2 \geq 0$
即$b + 4 \geq 0$
解得$b \geq -4$
D
4. 若$x$為任意有理數,則多項式$4x - 4 - x^2$的值 (
C
)
A.一定為正數
B.一定為負數
C.不可能為正數
D.可能為任意有理數
答案：【解析】：
首先，我們將多項式$4x - 4 - x^2$進行整理，得到：
$4x - 4 - x^2 = - (x^2 - 4x + 4) = - (x - 2)^2$
由于$(x - 2)^2$是一個平方項，其值總是非負的，即：
$(x - 2)^2 \geq 0$
因此，$- (x - 2)^2$的值總是非正的，即：
$- (x - 2)^2 \leq 0$
所以多項式$4x - 4 - x^2$的值不可能為正數。
【答案】：
C. 不可能為正數。
5. 若關于$x的一元二次方程ax^2 + bx + 1 = 0$的一個根是1,則$2024 - a - b$的值是 (
A
)
A.2025
B.2023
C.2024
D.2022
答案：解：
∵關于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + 1 = 0$的一個根是$1$，
∴將$x = 1$代入方程得：$a×1^2 + b×1 + 1 = 0$，
即$a + b + 1 = 0$，
∴$a + b = -1$，
則$2024 - a - b = 2024 - (a + b) = 2024 - (-1) = 2025$。
A
6. 已知關于$x的一元二次方程ax^2 - x + c = 0$,其中$a$,$c$在數軸上的對應點的位置如圖所示,則這個方程的根的情況是 (
C
)
A.沒有實數根
B.有兩個相等的實數根
C.有兩個不相等的實數根
D.無法確定
答案：解：由數軸可知，$a ＞ 0$，$c ＜ 0$。
對于一元二次方程$ax^2 - x + c = 0$，判別式$\Delta = (-1)^2 - 4ac = 1 - 4ac$。
因為$a ＞ 0$，$c ＜ 0$，所以$ac ＜ 0$，則$-4ac ＞ 0$，故$\Delta = 1 - 4ac ＞ 1 ＞ 0$。
所以方程有兩個不相等的實數根。
答案：C
7. 把一根長為2 m的繩子分成兩段,使較長一段的長的平方等于較短一段的長與原繩長的積. 設較長一段的長為$x$ m,根據題意,可列方程為 (
A
)
A.$x^2 = 2(2 - x)$
B.$x^2 = 2(2 + x)$
C.$(2 - x)^2 = 2x$
D.$x^2 = 2 - x$
答案：解：設較長一段的長為$x$m，則較短一段的長為$(2 - x)$m。
根據題意，較長一段的長的平方等于較短一段的長與原繩長的積，可列方程為：$x^2 = 2(2 - x)$。
答案：A
8. 已知實數a,b,且$a \neq b,$又a,b滿足$a^2 = 3a + 1,b^2 = 3b + 1,$則$a^2 + b^2$的值為 (
C
)
A.9
B.10
C.11
D.12
答案：【解析】：
本題主要考查了一元二次方程的根與系數的關系以及代數式的化簡。
根據題目條件，$a$ 和 $b$ 是方程 $x^2 - 3x - 1 = 0$ 的兩個不相等的實數根。
根據一元二次方程的根與系數的關系，我們有：
根的和：$a + b = -\frac{-3}{1} = 3$，
根的積：$ab = \frac{-1}{1} = -1$，
接下來，我們需要求 $a^2 + b^2$ 的值。
根據平方和公式，我們有：
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$，
將 $a + b = 3$ 和 $ab = -1$ 代入上式，得到：
$a^2 + b^2 = 3^2 - 2 × (-1) = 9 + 2 = 11$。
【答案】：
C. $11$。
