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2025年金鑰匙課時學案作業本九年級數學上冊人教版
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1. 下列方程中,是一元二次方程的為(
C
)
A.$3x - 5 = 6(x - 1)$
B.$x^{2}-3y + 1 = 0$
C.$x^{2}-2x - 7 = 0$
D.$\frac{1}{x}= x^{2}+3$
答案：解：根據一元二次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程。
A. $3x - 5 = 6(x - 1)$，化簡后為$3x - 5 = 6x - 6$，即$-3x + 1 = 0$，是一元一次方程，不是一元二次方程；
B. $x^2 - 3y + 1 = 0$，含有兩個未知數$x$和$y$，是二元二次方程，不是一元二次方程；
C. $x^2 - 2x - 7 = 0$，只含有一個未知數$x$，且未知數的最高次數是2，是整式方程，符合一元二次方程的定義；
D. $\frac{1}{x} = x^2 + 3$，分母中含有未知數，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程。
綜上，是一元二次方程的為C。
答案：C
2. (2024·海門模擬)下列各數是一元二次方程$x^{2}+x - 12 = 0$的根的是(
D
)
A.$-1$
B.$4$
C.$-3$
D.$3$
答案：【解析】：
本題主要考察一元二次方程的求解。
給定方程為 $x^{2} + x - 12 = 0$，我們需要通過因式分解或者求根公式來找到方程的根。
這里，我們選擇因式分解法。
首先，將方程 $x^{2} + x - 12 = 0$ 進行因式分解，得到：
$(x - 3)(x + 4) = 0$
由此，我們可以得到兩個方程：
$x - 3 = 0$
解得 $x = 3$
$x + 4 = 0$
解得 $x = -4$
但考慮到選項中給出的可能根，我們只需關注 $x = 3$（因為 $x = -4$ 不在選項中）。
接下來，我們將 $x = 3$ 和選項中的其他數值分別代入原方程進行驗證。
當 $x = 3$ 時，$3^2 + 3 - 12 = 0$，滿足方程。
當 $x = -1$ 時，$(-1)^2 + (-1) - 12 \neq 0$，不滿足方程。
當 $x = 4$ 時，$4^2 + 4 - 12 \neq 0$，不滿足方程。
當 $x = -3$ 時，$(-3)^2 + (-3) - 12 \neq 0$，不滿足方程。
因此，只有 $x = 3$ 是方程的根。
【答案】：
D. $3$
3. (教材 P4 練習第 2 題變式)已知一個菱形的兩條對角線的長相差 5,面積為 12. 設較長的對角線的長為$x$,則可列方程為(
D
)
A.$x(x + 5)= 12$
B.$x(x - 5)= 12$
C.$\frac{1}{2}x(x + 5)= 12$
D.$\frac{1}{2}x(x - 5)= 12$
答案：【解析】：
本題主要考查了菱形的面積公式以及一元二次方程的建立。
首先，根據菱形的性質，菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半。
設較長的對角線的長為$x$，則較短的對角線的長為$x - 5$（因為兩條對角線的長相差5）。
根據菱形的面積公式，我們有：
$\text{面積} = \frac{1}{2} × \text{長對角線} × \text{短對角線}$
將已知的數值代入公式，我們得到：
$\frac{1}{2}x(x - 5) = 12$
這就是我們需要建立的一元二次方程。
【答案】：
D. $\frac{1}{2}x(x - 5)= 12$
4. (2024·海安期中)若$x = - 2是關于x的一元二次方程x^{2}-mx + 2m = 0$的一個根,則實數$m$的值為(
A
)
A.$-1$
B.$1$
C.$-4$
D.$4$
答案：【解析】：
本題主要考查一元二次方程的根的性質。
由于$x = -2$是方程$x^{2} - mx + 2m = 0$的一個根，根據一元二次方程的定義，將$x = -2$代入方程，應滿足方程等式。
即：
$(-2)^{2} - m(-2) + 2m = 0$
$4 + 2m + 2m = 0$
$4 + 4m = 0$
$4m = -4$
$m = -1$
【答案】：
A
5. (教材 P4 習題 21.1 第 3 題變式)在$-3$,$-2$,$-1$,$0$,$1$,$2$,$3$,$4$這些數中,是方程$2x^{2}-8x + 6 = 0$的根的為
1，3
.
答案：【解析】：
首先，我們需要解方程$2x^{2} - 8x + 6 = 0$。
為了解這個方程，我們可以先對方程進行因式分解。
$2x^{2} - 8x + 6 = 2(x^{2} - 4x + 3) = 2(x - 3)(x - 1) = 0$
由此，我們可以得到方程的兩個
$x_{1} = 3, \quad x_{2} = 1$
接下來，我們需要從給定的數集$\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$中找出這兩個解。
顯然，$1$和$3$都在給定的數集中。
【答案】：
$1$，$3$
6. (2024·海安期末)已知$x = 1是方程x^{2}-3x + c = 0$的一個根,則實數$c$的值是
2
.
答案：【解析】：
本題主要考查一元二次方程的根的定義。
由于$x = 1$是方程$x^{2} - 3x + c = 0$的一個根，根據一元二次方程的根的定義，將$x = 1$代入方程，應滿足方程。
即：$1^{2} - 3 × 1 + c = 0$，
化簡得：$1 - 3 + c = 0$，
進一步解得：$c = 2$。
【答案】：
$c = 2$。
7. (新考向·數學文化)我國南宋數學家楊輝提出了這樣一個問題：“直田積八百六十四步,只云闊不及長一十二步,問闊及長各幾步?”其大意如下：一個矩形的面積為 864 平方步,寬比長少 12 步,問：寬和長各多少步? 設該矩形的寬為$x$步,則可列方程為
$x(x + 12) = 864$
.
答案：【解析】：
這是一個典型的一元二次方程應用題，涉及到矩形的面積計算。題目給出了矩形的面積和寬與長的關系，要求我們根據這些信息列出一元二次方程。
設矩形的寬為$x$步，根據題意，矩形的長就是$x + 12$步（因為寬比長少12步）。
矩形的面積公式是：$面積 = 長 × 寬$。
將給定的長和寬代入面積公式，得到：$864 = x × (x + 12)$。
這就是我們需要求解的一元二次方程。
【答案】：
$x(x + 12) = 864$。
8. (教材 P4 練習第 1 題變式)將下列方程化成一元二次方程的一般形式,并寫出其中的二次項系數、一次項系數和常數項：
(1) $4x^{2}-1 = 5x$；
(2) $3x(x - 3)= 2x^{2}-1$；
(3) $(3x - 1)(x + 2)= -x^{2}+5x + 1$；
(4) $(y + 5)(2y - 1)= y(y - 8)$.
答案：【解析】：
本題主要考查一元二次方程的一般形式及其各項系數的識別。一元二次方程的一般形式為 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a$ 是二次項系數，$b$ 是一次項系數，$c$ 是常數項。
(1) 對于方程 $4x^2 - 1 = 5x$，移項得 $4x^2 - 5x - 1 = 0$。
(2) 對于方程 $3x(x - 3) = 2x^2 - 1$，展開并移項得 $3x^2 - 9x - 2x^2 + 1 = 0$，即 $x^2 - 9x + 1 = 0$。
(3) 對于方程 $(3x - 1)(x + 2) = -x^2 + 5x + 1$，展開并移項得 $3x^2 + 6x - x - 2 + x^2 - 5x - 1 = 0$，即 $4x^2 - 3 = 0$，注意這里一次項合并后為0。
(4) 對于方程 $(y + 5)(2y - 1) = y(y - 8)$，展開并移項得 $2y^2 - y + 10y - 5 - y^2 + 8y = 0$，即 $y^2 + 17y - 5 = 0$。
【答案】：
(1) 解：
原方程 $4x^2 - 1 = 5x$ 可以化為一般形式 $4x^2 - 5x - 1 = 0$。
其中，二次項系數為4，一次項系數為-5，常數項為-1。
(2) 解：
原方程 $3x(x - 3) = 2x^2 - 1$ 可以化為一般形式 $x^2 - 9x + 1 = 0$。
其中，二次項系數為1，一次項系數為-9，常數項為1。
(3) 解：
原方程 $(3x - 1)(x + 2) = -x^2 + 5x + 1$ 可以化為一般形式 $4x^2 - 3 = 0$。
其中，二次項系數為4，一次項系數為0，常數項為-3。
(4) 解：
原方程 $(y + 5)(2y - 1) = y(y - 8)$ 可以化為一般形式 $y^2 + 17y - 5 = 0$。
其中，二次項系數為1，一次項系數為17，常數項為-5。
9. 若關于$x的方程(a - 1)x^{2}+x = 0$是一元二次方程,則實數$a$的取值或取值范圍是(
C
)
A.$a = 1$
B.$a＞1$
C.$a\neq1$
D.$a＜1$
答案：【解析】：
首先，我們需要明確一元二次方程的一般形式為$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$。
對于給定的方程$(a - 1)x^{2} + x = 0$，要使其為一元二次方程，必須滿足$a - 1 \neq 0$。
解這個不等式，我們得到$a \neq 1$。
【答案】：
C. $a\neq1$
