Question

設函數,的兩個極值點為,線段的中點為.
(1) 如果函數為奇函數,求實數的值;當時，求函數圖象的對稱中心；
(2) 如果點在第四象限,求實數的范圍;
(3) 證明:點也在函數的圖象上,且為函數圖象的對稱中心.

Answer 1

（1）函數圖象的對稱中心為（1，0）.
（2）或.
（3）由（2）得點，推出點也在函數的圖象上.    
設為函數的圖象上任意一點，
求得關于的對稱點為 
證明在函數的圖像上.證得為函數的對稱中心.

試題分析：（1）【法一】因為為奇函數，所以, 得：.
當時，，有，則為奇函數.   4分
【法二】,恒成立， , 求得.
當時，，該圖象可由奇函數的圖象向右平移一個單位得到， 可知函數圖象的對稱中心為（1，0）.   4分
（2）,
令，則為兩實根.,.
 
=
= , 
點在第四象限,得：  
或.    10分
（3）由（2）得點，
又
=，所以點也在函數的圖象上.      12分
設為函數的圖象上任意一點，
關于的對稱點為 
而
=.
即在函數的圖像上.
所以，為函數的對稱中心.     16分
【法二】設 



 .
為奇函數，
對稱中心為.
把函數的圖象按向量
平移后得的圖象，
 為函數的對稱中心.    16分
點評：中檔題，本題解法較多，緊緊圍繞函數圖象的對稱性展開討論。奇函數圖象關于原點對稱，偶函數圖象關于y軸對稱。