Question

設函數f_n（x）=1+

x

1!

+

x2

2!

+…+

xn

n!

，n∈N*．
（1）證明：e^-xf₃（x）≤1；
（2）證明：當n為偶數時，函數y=f_n（x）的圖象與x軸無交點；當n為奇數時，函數y=f_n（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．

Answer 1

分析：（1）寫出要用的函數，對于函數求導，整理看出導函數一定小于0，得到函數的單調性，從而確定其最大值．
（2）先證明n為偶數時，f_n（x）=0無解，F_n（x）=e^-xf_n（x），求出導數，根據導數的正負看出函數的單調性，看出方程根的個數，從而得出交點的個數，同樣的方法證明當n為奇數時，函數y=f_n（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．

解答：解：（Ⅰ）f₃（x）=1+x+

x2

2

+

x3

6

，設F（x）=e^-xf₃（x）=e^-x（1+x+

x2

2

+

x3

6

），
F′（x）=e^-x（1+x+

1

2

x²）-e^-x（1+x+

x2

2

+

x3

6

）=-e^-x•

x3

6

，
列表如下：

x	（-∞，0）	（0，+∞）
F'（x）	+	-
F（x）	增	減

∴y=F（x）為（-∞，0]上的增函數，（0，+∞）上的減函數，且F（0）=1．
∴F（x）≤1，即：e^-xf₃（x）≤1
（2）先證明n為偶數時，f_n（x）=0無解．
證明：當n為偶數時，設F_n（x）=e^-xf_n（x）=e^-x（1+

x

1!

+

x2

2!

+…+

xn

n!

）．
設n=2k（k∈N^*）則F_n′（x）=-e^-x•

1

(2k-1)!

x^2k-1，
當x＞0時，F_n′（x）＜0，當x＜0時，F_n′（x）＞0
∴F_n（x）在（-∞，0）上增，在（0，+∞）上減，
F_n（x）_max=F_n（0）=0，所以n為偶數時，F_n（x）=0無解，從而函數y=f_n（x）的圖象與x軸無交點；．
再證n為奇數時，f_n（x）=0有唯一解
證明：設F_n（x）=e^-xf_n（x）=e^-x（1+

x

1!

+

x2

2!

+…+

xn

n!

）．
設n=2k+1（k∈N^*）則F_n′（x）=-e^-x•

1

2k!

x^2k＜0，
所以y=F_n（x）為R上的減函數，
而F（1）＞0，F（-1）＜0，
所以方程F_n（x）=0有唯一解，從而函數y=f_n（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．

點評：考查函數的單調性，考查函數的最值，本題解題的關鍵是應用函數的導函數求解，注意函數和方程之間的關系．