Question

設函數f_n（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+…-

x2n-1

2n-1

，n∈N^*，
（Ⅰ）研究函數f₂（x）的單調性并判斷f₂（x）=0的實數解的個數；
（Ⅱ）判斷f_n（x）=0的實數解的個數，并加以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對函數求導，導函數是一個二次函數，配方整理看出導函數一定小于0，得到函數的單調性
（II）首求出導數，根據導數的正負看出函數的單調性，從而可得交點的個數．

解答：解：（Ⅰ）f₂（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

，則f₂′（x）=-1+x-x²=-（x-

1

2

）²-

3

4

＜0
∴函數f₂（x）在R上單調減
∵f₂（1）＞0，f₂（2）＜0
∴f₂（x）=0的實數解的個數是1個；
（Ⅱ）f_n（x）=0的實數解的個數是1個
求導函數可得f_n′（x）=-1+x-x²+…+x^2n-3-x^2n-2．
（1）若x=-1，則f_n′（x）=-（2n-1）＜0．
（2）若x=0，則f_n′（x）=-1＜0．
（3）若x≠-1，且x≠0時，則f_n′（x）=-

x2n-1+1

x+1

．
①當x＜-1時，x+1＜0，x^2n-1+1＜0，∴f_n′（x）＜0．
②當x＞-1時，f_n′（x）＜0
綜合（1），（2），（3），得f_n′（x）＜0，
即f_n（x）在R單調遞減．
又f_n（0）=1＞0，f_n（2）=（1-2）+（

22

2

-

23

3

）+…+（

22n-2

2n-2

-

22n-1

2n-1

）＜0
所以f_n（x）在（0，2）有唯一實數解，從而f_n（x）在R有唯一實數解．
綜上，f_n（x）=0有唯一實數解．

點評：本題考查函數與方程的關系和導數的應用，本題解題的關鍵是由導數看出函數的單調性，根據單調性確定函數與橫軸的交點個數．分類研究函數的單調性體現了分類討論的思想