Question

已知點是直角坐標平面內的動點，點到直線的距離為，到點的距離為，且．

(1)求動點P所在曲線C的方程；

(2)直線過點F且與曲線C交于不同兩點A、B(點A或B不在x軸上)，分別過A、B點作直線的垂線，對應的垂足分別為，試判斷點F與以線段為直徑的圓的位置關系(指在圓內、圓上、圓外等情況)；

(3)記，，(A、B、是(2)中的點)，問是否存在實數，使成立．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

進一步思考問題：若上述問題中直線、點、曲線C：，則使等式成立的的值仍保持不變．請給出你的判斷            (填寫“不正確”或“正確”)(限于時間，這里不需要舉反例，或證明)．

Answer 1

解　(1) 設動點為，                                                        1分

依據題意，有  

，

化簡得．                                   3分

　　因此，動點P所在曲線C的方程是：．         …………4分

(2)  點F在以MN為直徑的圓的外部．

理由：由題意可知，當過點F的直線的斜率為0時，不合題意，故可設直線：，如圖所示．                                  5分

聯立方程組，可化為，

則點的坐標滿足．                    7分

又、，可得點、．

點與圓的位置關系，可以比較點到圓心的距離與半徑的大小來判斷，也可以計算點與直徑形成的張角是銳角、直角、鈍角來加以判斷．

因，，則=．9分

   于是，為銳角，即點F在以MN為直徑的圓的外部．                          10分

(3)依據(2)可算出，，

則 

       

        ，

   

      

       ．                                     14分

所以，，即存在實數使得結論成立．                              15分

對進一步思考問題的判斷：正確．                                           18分