Question

隨機抽取某中學高一級學生的一次數學統測成績得到一樣本，其分組區間和頻數是：，2；，7；，10；，x；[90，100]，2.其頻率分布直方圖受到破壞，可見部分如下圖所示，據此解答如下問題.

（1）求樣本的人數及x的值；
（2）估計樣本的眾數，并計算頻率分布直方圖中的矩形的高；
（3）從成績不低于80分的樣本中隨機選取2人，該2人中成績在90分以上（含90分）的人數記為，求的數學期望.

Answer 1

(1),樣本人數為25 (2)75 0.016  (3)

解析試題分析：
(1)由頻率分布直方圖可得每組的組距為10,利用分數在區間的縱坐標為0.008,根據縱坐標等于頻率除以組距可得頻率,題意已知分數在的頻數為2,則利用頻率等于頻率除以樣本即可得到樣本數.
(2)利用(1)算的樣本總數,題目已知分數在的頻數,利用頻率等于頻數除以樣本總數,即可得到頻率,頻率除以組距10即可得到分數在的矩形的高,由(1)和題目可得到每組的頻數,頻數最高的是分數在,所以眾數為.
(3)由題可得分數不低于80的有兩組分別為4.2共6人,其中2人的分數高于90.則取值為0,1,2.則6個人中選取2個人,可以利用組合數算出所有的情況為,而取值為0,1,2時的的情況數也可以利用組合數算的,再利用古典概型的概率計算公式即可得到相應的概率,就得到了分布列, 取值為0,1,2與相應概率的乘積和即可得到期望.
試題解析：
（1）由題意得，分數在之間的頻數為2，頻率為，（1分）
所以樣本人數為（人）               （2分）
的值為（人）.                       （4分）
（2）從分組區間和頻數可知，樣本眾數的估計值為.               （6分）
由（1）知分數在之間的頻數為4，頻率為         （7分）
所以頻率分布直方圖中的矩形的高為           （8分）
（3）成績不低于80分的樣本人數為4+2=6（人），成績在90分以上(含90分)的人數為人，所以的取值為0，1，2.                           （9分）
，，，（10分）
所以的分布列為：

	0	1	2

（11分）
所以的數學期望為             （13分）
考點：組合數 期望 分布列 頻率分布直方圖