Question

(2007成都模擬)已知函數f(x)=xln x．

(1)求函數f(x)的單調區間和最小值；

(2)當b＞0時，求證:(其中e=2.71828…是自然對數的底數)；

(3)若a＞0，b＞0，證明：f(a)＋(a＋b)ln2≥f(a＋b)－f(b).

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)∵(x＞0)，令，即． ∵e=2.71828…＞1，∴y=lnx在區間(0，＋∞)上是單調遞增函數． ∴．∴．同理，令可得． ∴f(x)的單調遞增區間為，f(x)的單調遞減區間為． 由此可知． (2)由(1)可知當b＞0時， 有，∴， 即． ∴． (3)將變形，得， 即證 設函數g(x)=f(x)＋f(k－x)(k＞0)． ∵f(x)=xlnx， ∴g(x)=xlnx＋(k－x)ln(k－x)， ∴0＜x＜k． ∵，令， 則有． ∴函數g(x)在上單調遞增，在上單調遞減． ∴函數g(x)的最小值為，即總有． 而， ∴， 即． 令x=a，k－x=b，則k=a＋b． ∴． ∴．