Question

設z是虛數，ω=z+

1

z

，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的實部的取值范圍；
（2）設u=

1-z

1+z

，求證：u為純虛數．

Answer 1

分析：（1）設出復數z，寫出ω的表示式，進行復數的運算，把ω整理成最簡形式，根據所給的ω的范圍，得到ω的虛部為0，實部屬于這個范圍，得到z的實部的范圍．
（2）根據設出的z，整理u的代數形式，進行復數的除法的運算，整理成最簡形式，根據上一問做出的復數的模長是1，得到u是一個純虛數．

解答：解：設z=x+yi（x，y∈R，y≠0）
（1）ω=z+

1

z

=(x+

x

x2+y2

)+(y-

y

x2+y2

)i
∵-1＜ω＜2，∴y-

y

x2+y2

=0，
又∵y≠0，∴x²+y²=1即|z|=1
∵-1＜x+

x

x2+y2

＜2?-1＜2x＜2，
∴-

1

2

＜x＜1
即z的實部的取值范圍是(-

1

2

，1)
（2）u=

1-z

1+z

=

(1-x-yi)(1+x-yi)

(1+x)2+y2

=

(1-x2-y2)-2yi

(1+x)2+y2

∵x²+y²=1，∴u=

-2y

(1+x)2+y2

i
又∵y≠0，
∴u是純虛數．

點評：本題考查復數的代數形式的運算，本題是一個運算量比較大的問題，題目的運算比較麻煩，解題時注意數字不要出錯．