Question

設z是虛數(shù)，ω=z+是實數(shù)，且-1＜ω＜2.

(1)求|z|的值及z的實部的取值范圍;

(2)設u=,求證:u為純虛數(shù);

(3)求ω-u²的最小值.

Answer 1

思路解析:條件與復數(shù)的概念有關系,不妨設z=a+bi(a、b∈R)且b≠0,從而轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題.

(1)解:設z=a+bi(a、b∈R)且b≠0,則ω=a+bi++(b-)i.

∵ω是實數(shù)，b≠0,∴a²+b²=1,即|z|=1.于是ω=2a,-1＜ω=2a＜2.

∴＜a＜1.故z的取值范圍是(,1).

(2)證明:u=

∵a∈(,1),且b≠0,∴u為純虛數(shù).

(3)解:ω-u²=2a-()²=2a+

=.

∵＜a＜1，∴a+1＞0.

于是ω-u²=2(a+1)+-3≥2×2-3=1.

當且僅當a+1=，即a=0時等號成立.ω-u²的最小值為1，此時z=±i.