Question

（12分）已知函數f(x)=ax³－bx² +(2－b)x+1，在x=x₂處取得極大值，在x=x₂處取得極小值，且0＜x₁＜1＜x₂＜2。
（1）證明：a＞0；
（2）若z=a+2b，求z的取值范圍。

Answer 1

（1）見解析（2）

求函數f′(x)的導數f′(x)=ax²－2bx+2－b

（1）由函數f(x)在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值，知x₁，x₂是f’(x)=0的兩個根。所以f’(x)=a(x－x₁)(x－x₂)
當x＜x₁時，f(x)為增函數，f′(x)＞0，由x－x₁＜0，x－x₂＜0得a＞0
（2）在題設下，0＜x₁＜1＜x₂＜2等價于即
化簡得此不等式組表示的區域為平面aob上三條直線：2－b=0，a－3b+2=0，4a－5b+2=0，所圍成的ABC的內部，其三個頂點分別為：A.
在這三點的值依次為，所以z的取值范圍為