Question

等比數列的前n項的和S_n=k•3ⁿ+1，則k的值為

-1

．

Answer 1

分析：（法一）利用遞推公式可得n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2k•3^n-1，由數列為等比數列可知a₁=3k+1適合上式，從而可求k
（法二）由等比數列的前n項和公式可得Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

-

a1

1-q

•qn且S_n=1+k•3ⁿ可知

a1

1-q

=1，k=-

a1

1-q

解答：解：（法一）n=1時，a₁=S₁=3k+1
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=k•3ⁿ+1-k•3^n-1-1=2k•3^n-1
數列為等比數列可知a₁=3k+1適合上式，則2k=3k+1
∴k=-1
（法二）由等比數列的前n項和公式可得Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

-

a1

1-q

•qn
∵S_n=1+k•3ⁿ
∴

a1

1-q

=1，k=-

a1

1-q

=-1
故答案為：-1

點評：本題主要考查了等比數列求和公式的應用，要注意解題方法中的遞推公式時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1及等比數列求和公式的結構的應用．