Question

（本題滿分14分）
已知函數，其中.定義數列如下：，.
（I）當時，求的值；
（II）是否存在實數m，使構成公差不為0的等差數列？若存在，請求出實數的值，若不存在，請說明理由；
（III）求證：當時，總能找到，使得.

Answer 1

(1) ，，.
(2) 
(3) 略

解：（Ｉ）因為，，所以，
，.                  …………4分
（II）方法一：假設存在實數，使得構成公差不為0的等差數列.
由（I）得到，，
.因為成等差數列，
所以，          …………6分
所以，，      化簡得，
解得（舍）,. …………8分
經檢驗，此時的公差不為0，
所以存在，使構成公差不為0的等差數列. …………9分
方法二：因為成等差數列，
所以，  …………6分
即，
所以，即.
因為，所以解得.   …………8分
經檢驗，此時的公差不為0.
所以存在，使構成公差不為0的等差數列. …………9分
（III）因為,
又 , 所以令.
由，
，
……
，將上述不等式全部相加得，即，
因此只需取正整數，就有.………14分