Question

（類型A）已知函數f（x）=，f（x）的導函數是f^′（x），對任意兩個不相等的正數x₁，x₂，證明：
（1）當a≤0時，
（2）當a≤4時，|f^′（x₁）-f′（x₂）|＞|x₁-x₂|
（類型B）某旅行社在暑假期間推出如下旅游團組團辦法：達到100人的團體，每人收費1000元．如果團體的人數超過100人，那么每超過1人，每人平均收費降低5元，但團體人數不能超過180人．如何組團，可使旅行社的收費最多？

Answer 1

【答案】分析：（類型A）（1）將x₁，x₂代入整理，整理出關于x₁，x₂的關系式，結合基本不等式使用條件，再由基本不等式可證．
（2）先對函數f（x）進行求導，將x₁，x₂代入整理變形，轉化為證明對任意兩個不相等的正數x₁，x₂，有 恒成立，從而得證．
（類型B）設有x人參加旅行團，收費共y元，則有：y=1000x-5×（x-100）×x，（100≤x≤180），求出對稱軸得到函數的最大值．
解答：解：（類型A）證明：（1）由
得 =
而 ①
又（x₁+x₂）²=（x₁²+x₂²）+2x₁x₂＞4x₁x₂
∴②
∵
∴
∵a≤0
∴③
由①、②、③得
即 ．
（2）：由 ，得
∴=
下面證明對任意兩個不相等的正數x₁，x₂，有 恒成立
即證 成立
∵
設 ，
則 ，
令u′（x）=0得 ，列表如下：

∴
∴對任意兩個不相等的正數x₁，x₂，恒有|f'（x₁）-f'（x₂）|＞|x₁-x₂|．
（類型B）設有x人參加旅行團，收費共y元，則有：
y=1000x-5×（x-100）×x，（100≤x≤180）．
整理得：y=-5x²+1500x=-5（x-150）²+112500．
所以當x=150人時，旅行團的收費最多為112500元．
點評：本小題主要考查導數的基本性質和應用，函數的性質和平均值不等式等知識及綜合分析、推理論證的能力．