Question

袋中有紅球和黃球若干個(gè)，從中任摸一球，摸得紅球的概率為p，摸得黃球的概率為q．若從中任摸一球，放回再摸，第k次摸得紅球，則記a_k=1，摸得黃球，則記a_k=一1．令S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）當(dāng)p=q=時(shí)，求S₆≠2的概率；
（Ⅱ）當(dāng)p=，q=時(shí)，求S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3）的概率．（結(jié)果均用分?jǐn)?shù)表示）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出S₆=2時(shí)的概率，由于2只能分解成4個(gè)1與2個(gè)-1的代數(shù)和，故而前6次摸球中，有4次摸到紅球，有2次摸到黃球
，即S₆=2的概率為，則S₆≠2的概率為1-=
（Ⅱ）本問可分為三種情況：①若第一、二次摸到紅球，第三次摸到黃球，后五次有3次摸到紅球；②若第一、三次摸到紅球，第二次摸到黃球，后五次有3次摸到紅球；③若第一、二、三次摸到紅球，后五次有兩次摸到紅球，故而所求的概率即為三種情況之和
解答：解：（Ⅰ）由題意得：
若S₆=2，前6次摸球中，有4次摸到紅球，有2次摸到黃球
∴故S₆=2的概率為
∴S₆≠2的概率為
（Ⅱ）當(dāng)S₈=2時(shí)，即前8次中有5次摸到紅球，有3次摸到黃球，
又已知S_i≥0（i=1，2，3），故可分為三種情況．
①若第一、二次摸到紅球，第三次摸到黃球，后五次有3次摸到紅球；
②若第一、三次摸到紅球，第二次摸到黃球，后五次有3次摸到紅球；
③若第一、二、三次摸到紅球，后五次有兩次摸到紅球
∴所求概率為
（或）
點(diǎn)評：本題考查了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，互斥事件的概率加法公式，還有待定系數(shù)法求解s_n分解，屬于基礎(chǔ)題．