Question

袋中有紅球和黃球若干個，從中任摸一球，摸得紅球的概率為p，摸得黃球的概率為q．若從中任摸一球，放回再摸，第k次摸得紅球，則記a_k=1，摸得黃球，則記a_k=一1．令S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）當p=q=

1

2

時，求S₆≠2的概率；
（Ⅱ）當p=

1

3

，q=

2

3

時，求S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3）的概率．（結果均用分數表示）

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出S₆=2時的概率，由于2只能分解成4個1與2個-1的代數和，故而前6次摸球中，有4次摸到紅球，有2次摸到黃球
，即S₆=2的概率為

C

4 6

(

1

2

)4•(

1

2

)2=

15

64

，則S₆≠2的概率為1-

15

64

=

49

64

（Ⅱ）本問可分為三種情況：①若第一、二次摸到紅球，第三次摸到黃球，后五次有3次摸到紅球；②若第一、三次摸到紅球，第二次摸到黃球，后五次有3次摸到紅球；③若第一、二、三次摸到紅球，后五次有兩次摸到紅球，故而所求的概率即為三種情況之和

解答：解：（Ⅰ）由題意得：
若S₆=2，前6次摸球中，有4次摸到紅球，有2次摸到黃球
∴故S₆=2的概率為

C

4 6

(

1

2

)4•(

1

2

)2=

15

64

∴S₆≠2的概率為P1=1-

15

64

=

49

64

（Ⅱ）當S₈=2時，即前8次中有5次摸到紅球，有3次摸到黃球，
又已知S_i≥0（i=1，2，3），故可分為三種情況．
①若第一、二次摸到紅球，第三次摸到黃球，后五次有3次摸到紅球；
②若第一、三次摸到紅球，第二次摸到黃球，后五次有3次摸到紅球；
③若第一、二、三次摸到紅球，后五次有兩次摸到紅球
∴所求概率為P=(

1

3

)2•(

2

3

)•

C

3 5

(

1

3

)3(

2

3

)2+

1

3

•

2

3

•

1

3

•

C

3 5

(

1

3

)3(

2

3

)2+(

1

3

)3•

C

2 5

(

1

3

)2(

2

3

)3=

80

37

（或

80

2187

）

點評：本題考查了n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率，互斥事件的概率加法公式，還有待定系數法求解s_n分解，屬于基礎題．