Question

（本題滿分12分）

已知為實數(shù)，，為的導函數(shù).

（1）求導數(shù)；

（2）若，求在上的最大值和最小值；

（3）若在和上都是遞增的，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）.

（2）在上的最大值為，最小值為.

（3）.

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)的幾何意義的運用和導數(shù)在研究函數(shù)最值的思想的運用，和利用單調(diào)性，逆向求解參數(shù)的取值范圍的綜合運用。

（1）主要是考查了初等函數(shù)的導數(shù)的計算。

（2）由由，得得到解析式，然后確定解析式后再求解導數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，得到最值。

（3）如果函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào)遞增，說明在該區(qū)間導數(shù)值恒大于等于零，分離參數(shù)的思想求解得到。

解：（1）.

（2），.

由，得，此時，，

由，得或.

又，，，

在上的最大值為，最小值為.

（3）解法一，

依題意：對恒成立,即

,所以

對恒成立,即

,所以

綜上: .

解法二，的圖像是開口向上且過點的拋物線，由條件得，，

，.解得. 的取值范圍為．