Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n＝n(n＋1)(n∈N^*)．

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)若數列{b_n}滿足：a_n＝＋＋＋…＋，求數列{b_n}的通項公式；

(3)令c_n＝(n∈N^*)，求數列{c_n}的前n項和T_n.

Answer 1

[解析]　（1）當n＝1時，a₁＝S₁＝2，

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a₁＝2滿足該式

∴數列{a_n}的通項公式為a_n＝2n.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

(2)a_n＝＋＋＋…＋(n≥1)①

∴a_n＋1＝＋＋＋…＋＋②

②－①得，＝a_n＋1－a_n＝2，b_n＋1＝2(3^n＋1＋1)，

故b_n＝2(3ⁿ＋1)(n∈N^*)． ………………………………………………..6分

(3)c_n＝＝n(3ⁿ＋1)＝n·3ⁿ＋n，

∴T_n＝c₁＋c₂＋c₃＋…＋c_n＝(1×3＋2×3²＋3×3³＋…＋n×3ⁿ)＋(1＋2＋…＋n)

令H_n＝1×3＋2×3²＋3×3³＋…＋n×3ⁿ，①

則3H_n＝1×3²＋2×3³＋3×3⁴＋…＋n×3^n＋1②

①－②得，－2H_n＝3＋3²＋3³＋…＋3ⁿ－n×3^n＋1＝－n×3^n＋1

∴H_n＝。

∴數列{c_n}的前n項和T_n＝＋. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 12分