Question

若數列{a_n}的通項an=

1

pn-q

，實數p，q滿足p＞q＞0且p＞1，s_n為數列{a_n}的前n項和．
（1）求證：當n≥2時，pa_n＜a_n-1；
（2）求證sn＜

p

(p-1)(p-q)

(1-

1

pn

)；
（3）若an=

1

(2n-1)(2n+1-1)

，求證sn＜

2

3

．

Answer 1

分析：（1）利用通項及實數p，q滿足p＞q＞0且p＞1，即可證得；
（2）由（1）進行放縮，再求和，即可得到結論；
（3）對通項i型放縮，再利用等比數列的求和公式，即可證得．

解答：證明：（1）當n≥2時，pa_n=

1

pn-1- q p

＜

1

pn-1-q

=an-1
∴pa_n＜a_n-1…（2分）
（2）由（1）得an＜

1

p

an-1＜

1

p2

an-2＜…＜

1

pn-1

a1…（4分）
所以

n

i=1

ai＜(

1

pn-1

+

1

pn-2

+…+

1

p

)a1=

p

(p-1)(p-q)

(1-

1

pn

)
所以Sn＜

p

(p-1)(p-q)

(1-

1

pn

)…（6分）
（3）an=

1

(2n-1)(2n+1-1)

＜

1

2n+1(2n- 3 2 )

由（1）得

1

2n- 3 2

＜

1

2

×

1

2n-1- 3 2

＜

1

22

×

1

2n-2- 3 2

＜…＜

1

2n-1

×

1

2- 3 2

=2×

1

2n-1

所以an＜

2

4n

…（8分）
所以Sn＜

1

3

+(

2

42

+

2

43

+…+

2

4n

)＜

2

3

所以Sn＜

2

3

…（10分）

點評：本題考查不等式的證明，考查等比數列的求和公式，考查放縮法的運用，屬于中檔題．