Question

已知函數f(x)＝ax－ln x，g(x)＝，它們的定義域都是(0，e]，其中e是自然對數的底e≈2.7，a∈R.
(1)當a＝1時，求函數f(x)的最小值；
(2)當a＝1時，求證：f(m)>g(n)＋對一切m，n∈(0，e]恒成立；
(3)是否存在實數a，使得f(x)的最小值是3？如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

（1）1   （2）見解析   （3）見解析

解：(1)當a＝1時，f(x)＝x－ln x.
所以f′(x)＝1－.
令f′(x)＝0，得x＝1.
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(0,1)	1	(1，e]
f′(x)	－	0	＋
f(x)	?	1	?

 
所以當x＝1時，f(x)_min＝1.
(2)證明：由(1)知，當m∈(0，e]時，
有f(m)≥1.
因為0<x≤e，所以g′(x)＝≥0，
即g(x)在區間(0，e]上為增函數，
所以g(x)≤g(e)＝＝<＝，
所以g(x)＋<＋＝1，
所以當m，n∈(0，e]時，
g(n)＋<1≤f(m)．
所以f(m)>g(n)＋對一切m，n∈(0，e]恒成立．
(3)假設存在實數a，使f(x)的最小值是3，則
f′(x)＝a－＝.
①當a≤時，因為0<x≤e，所以ax≤1，
所以f′(x)≤0，所以f(x)在(0，e]上為減函數．
所以當x＝e時，f_min(x)＝ae－1＝3，
解得a＝(舍去)；
②當a>時，
若0<x<時，f′(x)<0，f(x)在上為減函數；
若<x≤e時，f′(x)>0，f(x)在上為增函數．
所以當x＝時，f_min(x)＝1－ln＝3，解得a＝e².
所以假設成立，存在實數a＝e²，使得f(x)的最小值是3.