Question

已知函數f(n)=n2sin

nπ

2

，且a_n=f（n）+f（n+1），則a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₄=______．

Answer 1

∵f（n）=n²sin

nπ

2

，
∴a_n=f（n）+f（n+1）=n²sin

nπ

2

+（n+1）²sin

(n+1)π

2

=n²sin

nπ

2

+（n+1）²cos

nπ

2

，
∴a₁=1，
a₂=a₃=-3²，
a₄=a₅=5²，
a₆=a₇=-7²，
…
a₂₀₁₂=a₂₀₁₃=2013²，
a₂₀₁₄=-2015²．
∴a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₄
=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₃）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₄）
=[（1-3²）+（5²-7²）+…+（2009²-2011²）+2013²]+[（-3²+5²）+（-7²+9²）+…+（-2011²+2013²）-2015²]
=-2（4+12+20+…+4020）+2013²+2（8+16+…+4024）-2015²
=-2×

(4+4020)×503

2

+2×

(8+4024)×503

2

-2015²+2013²
=503×8-2×4028
=-4032．